Question

みみ

解説の1番初めに出てくる漸化式はどこから出てきたのかわからないです...。教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

角不等式
38 複素数の数列 {zn} が次の条件で定められている.
somiz1=0,22=1
Zn+2=(2+i)zn+1-(1+izn
(n=1, 2,...)
(1)
α = 1 + i とする. n を α を用いて表せ.
(2)
を求めよ.
||≦4であるような最大のn
〔一橋大〕

(1) 与えられた漸化式は
立た
であり,これから
また①から
Zn+2 = (a+1)Zn+1 - αzn
Zn+2 - αZn+1 = Zn+1-αzn (n ≥ 1)
Zn+1-αzn = 22-az₁ = 1
Zn+2 - Zn+1 = α (Zn+1 - Zn) (n ≥ 1)
Zn+1-Zn = α-1 (Z2-21) = a"-1
2
③

②③により
233-38
(1-α)n=1-αn-1
(2)a=1+iだから、(1)の結果から
an-1
. Zn=
-1
=
a-1
||=|÷("-1-1)|=|^-1-1|
n≧6のとき 〔() を用いる〕
|n|≧|a|^-1-1 = √2"-1-1≧√2-1=4√2 - 1 > 4
( 4√2=√32> √25=5)
JT
n=5のとき,|zs|=|α4-1であり,α=1+i=√2(cos
= √2 (cos 1/4 + i sin 7/7)
るので、
だから,
α4_1=4(cosπ+isinz)-1=-4-1=-5.|25|=5>4
T
n=4のとき,
a³-1=2√2 (cos
3
4
3π
c4
|24| = |o3-1| = √13<√16=4
+isin 37 ) -1 = 2(-1+i) -1 = -3 + 2i
以上から、 求める最大値はn=4である.
x) = 1