Question

原西

【不等式の証明】これの62と63、どうやって解くのかさっぱりわかりません😢よろしければ解き方わかりやすく解説してください。

例題
「大小比較
17
40
1, ++の大小を、不
0a+b=1のとき、
用いて表せ。
a+b=1 から
b=l-a
00 から
1-a>0
よって
これとa>0から
0<a<l
a<l
(a+b)-(a+b)-a²+(1-a)-a-(1-a)-a-a²=a(1-a)>
1-(a²+b²)=1-a-(1-a)²=2a-2a2-2a (1-a)>0
よって a+b <a+b° <1
参考 大小比較の問題では,まず式に適当な値を代入して,大小の見当をつけ
い。
1
例えば,060, a+b=1 を満たす数として a= 3'
b=
3
3
a²+b²= (³¹²)² + (²)² = 5, a³ +6³ = (³½³ ) ³ + ( ²² )² = 1/4
3 23
3
したがって, α>0,b>0a+b=1のとき, d3+6° <a²+b21 と見
B
64 次の2つの数の大小を,不等号を用いて表せ。
*(1) √5+√10,√7+√8
(2)√7-√6,√14-√13
62/a>b>0 のとき,次の数を小さい方から順に並べよ。
a+b
2ab
a2+62
√ab,
2
a+b'V 2
〒6310<a<b,a+6=2 のとき,次の数を小さい順に並べよ。
a2+62
1, a, b, ab,
2
ya>0
a0b>0,a+b=1でx>0,y>0のとき,a√x + by と
大小を不等号を用いて表せ。
■ B Cle

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

mo1

参考・概略です

●長くなるので、62だけです

６２
　(a，b)に適当な値を代入し、

　　2ab/(a＋b)＜√ab＜(a＋b)/2＜√{(a²＋b²)/2}　と見当がつくので

　①{√ab}²－{2ab/(a＋b)}²＝ab－{4a²b²/(a＋b)²
　　　　　　　　　　　　　＝[ab(a＋b)²－4a²b²]/(a＋b)²
　　　　　　　　　　　　　＝[ab{(a＋b)²－4ab}]/(a＋b)²
　　　　　　　　　　　　　＝[ab(a－b)²]/(a＋b)²≧0
　　以上から
　　　{√ab}²≧{2ab/(a＋b)}²
　　つまり、
　　　2ab/(a＋b)≦√ab　　等号はa＝bのとき成立　…　㋐

　②相加・相乗平均の関係から

　　　√ab≦(a＋b)/2　　等号はa＝bのとき成立　…　㋑

　③[√{(a²＋b²)/2}]²－[(a＋b)/2]²＝{(a²＋b²)/2}－{(a＋b)²/4}
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(a²－2ab＋b²)/4
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(a－b)²/4≧0
　　以上から
　　　[(a＋b)/2]²≦√[{(a²＋b²)/2}]²
　　つまり
　　　(a＋b)/2≦√{(a²＋b²)/2}　統合はa＝bのとき成立

　①，②，③より
　　　2ab/(a＋b)≦√ab≦(a＋b)/2≦√{(a²＋b²)/2}