Question

はさみ

【高校物理、電磁気学】
河合塾出版の参考書、「高校物理」の例題4-5で分からないことがあります。
(c)(d)を解説と異なる方法で求めようとしました。(c)は答えが合いましたが、(d)は合いませんでした。私の解答を書きますので、どこが間違っているかをご指摘頂きたいです。一応、答えが合っていた(c)の私の解答も書いておきます。

(c)
電荷を動かす前の点Bと点Cでの電位をVb ,Vcとし,動かした後の点Bと点Cでの電位をVb’ ,Vc’とすると,
Vb = -(2√2-1)kQ/2d
Vc = (2√2-1)kQ/2d
Vb’ = kQ/2d
Vc’ = -kQ/2d
である.
エネルギー保存則より,求める外力がする仕事は,点電荷の位置エネルギーの変化量の和に等しい.
∴ Q(Vc’-Vb) + (-Q)(Vb’-Vc) = 2(√2-1)kQ^2/d

(d)
点Cと点Dでの電位をVc ,Vdとすると,
Vc = -kQ/2d
Vd = kQ/2d
である.
エネルギー保存則より,求める外力がする仕事は,点電荷の位置エネルギーの変化量の和に等しい.
∴ Q(0-Vc) + (-Q)(0-Vd) = kQ^2/d

(d)の実際の答えはkQ^2/2dです。

(c)(d)の解説の解き方は、「点ABCDの全ての点電荷間の位置エネルギーの合計に着目し,その変化量を調べる.」というものです。

第1章 電場
275
例題 4-5
電場と電位・位置エネルギー
真空中の電荷と電場に関する下記の
y
文において, (a)から (d) にあ
てはまる式を記せ。 ただし, クーロン P(-d,d)
の法則の比例定数をk [N·m²/C2],
•C(0,d)
電子の電荷を -e [C], 電子の質量
をm[kg] とし, 無限遠点での電位を
0Vとする。
0(0, 0)
x
B(-d, 0)
A(d, 0)
(1)A(d,0) と点B(-d, 0)
に正の電荷 Q を固定し,y軸の点
C(0, d) 電子を置く。
D(0,-
-d).
点Cで速度 0 であった電子が電場で力を受けてy軸上を動くとする
と、原点0での速さは (a) | [m/s] となる。
(2) 点Aと点B の正の電荷 Q のほかに, 点Cに電気量 Q [C] の点電
荷を固定する。さらに,これら3つの点電荷を固定したままで, y 軸上
の負の方向の無限遠点に置かれた電気量 - Q [C] の点電荷をy軸に
沿って点D (0, -d)までゆっくりと動かす。 このときに外力がする
仕事は(b) [J] である。
(3)点Aと点Bに電荷 Q, 点 C と点Dに電荷 - Q を固定した状態から,
点Cの電荷 Q をC→P→B の経路で点B まで, また点Bの電荷 Q
をB→O→Cの経路で点 Cまで同時にゆっくりと動かす。 このとき外
力がする仕事は (c) [J] である。
さらに,点Aの電荷 Q と点B の電荷 Q を固定したままにして,
点Cの電荷Qをy軸の正の方向に向かって無限遠点まで,また点Dの
電荷-Qをy軸の負の方向に向かって無限遠点まで同時にゆっくりと
動かす。 このとき外力がする仕事は(d) [J] である。
(東北大)
解答
(1) (a) 点A,Bの電荷による点Cおよび点0の電位は, それぞれ,
Vc=
kQ kQ √2kQ
+
√2d √2d
d
kQkQ_2kQ
Vo
d
V₁ = kQ+kQ
d
求める速さをひとする。 力学的エネルギー保存則より,
1/12m+(e)xVo=(-e) Vc
..
mv²= (2-√2) kQe
d

276
第4編 電磁気
これ
v =
2 (2-2) kQe
md
(2)(b)点A,B,Cの点電荷によるD点の電位は,
VD=
2kQk(Q)_
+
(2√2-1) kQ
√2d
2d
2d
エネルギー保存則より,必要な外力の仕事は,位置エネルギーの変化量に等しいので、
W= (-Q) x Vo- (-Q)x0_(2√2-1) kQ
2d
(3)(c)点A,B,C,D の全ての点電荷間の位置エネルギーの合計に着目する。
初めの状態の位置エネルギーは,
U=4x(-kQ²)
kQ2
+ 2x
= =
(1-2√2) kQ
Q2
√2d
2d
Q
Q
2d
B
√2d
AD 間 DB 間, BC 間,
CA間の位置エネルギー
の和
AB間 CD 間
の位置エネル
ギーの和
C2= 6つの位置エネルギーの和
点B,Cの電荷を入れ換えたあとの位置エネルギーは,
kQ2
U'=2x
√2d
BD 間 AC 間
kQ2
2d
Q2
d
+ 2x (-10²) + 2x (- Q²) = - kQ²
kQ2
√2d
AD 間, BC 間
したがって、必要な外力の仕事は,
W=U'-U=2(√2-1) kQ2
d
AB 間 CD 間
(d) 点C,D の電荷を無限遠点に移したあとの位置エネル
-Q
B
ギーは,
kQ2
U" = -2d
-0
したがって, 必要な外力の仕事は
W = U"
=
--{(-1/2)-(-1) A-4
kQ
kQ² =
kQ2
2d
-Q
C
D
-2d

電磁気学 電場 電位 位置エネルギー 点電荷

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

GDO

以下の２点が間違っています。
・すべての電荷の位置エネルギーを把握してください。
　（電荷を動かすことによって、動かさない電荷の位置エネルギー分も仕事が必要です）
・位置エネルギーの計算が重複しています。
　（２つの電荷間の位置エネルギーは、kqQ/rであり、それぞれ計算して足してはいけない）

以下のような計算になっていると思われます。
（c）では、２点（半分）だけの計算であったが、計算が重複しているので、結果が同じになった。
（d）では、重複計算した２点のもつエネルギーを求めた（遠ざけたて０にした）ので、２倍の結果になった。。

はさみ

ご回答ありがとうございます！
これを参考にしてもう一度考えてみます。
考えるのに少々時間がかかるかもしれません。お待ち下さい。

はさみ

大変参考になりました、ありがとうございます！
A点の点電荷によるB点での位置エネルギーと、その逆は全く同じものであるにも関わらず、それらを足していました。試しに、重複がないようにそれぞれの電位を考えて、移動後のそれぞれの点での位置エネルギーと、移動前のものを求めてそれらを足し合わせると、答えが合いました。しかしこれは点電荷間の位置エネルギーを考えている他ならないので、解説に書いている通り、kQq/rの公式を使って解くのが速くて良いと思いました。