Question

モナミ🥨

(2)の比を簡単にするところですが、答えと自分で計算したものと一致しません。
どのようにしたら答えと一致するのか、また、どこが間違っているのか教えて欲しいですm(*_ _)m
よろしくお願いします🙏

No.
Date
172
3
19
16
× 4
64
(2)正四面体ABCDの体積をYとすると、V12
また、半径の球の体積をV」とすると、
=
a³
=
TL
√613
=
TL X
a³
√2
3
+24
24168
KV: c. 13√6% 2/2
:
8
+2
=

重要 例題 172 正四面体と球
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R を a を用いて表せ。
(2)(1) の半径R の球と正四面体 ABCDの体積比を求めよ。
(3)正四面体 ABCD に内接する球の半径 x を α を用いて表せ。
(4)(3)の半径の球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
指針 (1) 頂点Aから底面 △BCD に垂線 AH を下ろす。
外接する球の中心を0とすると,
OA=OB=OC=OD (=R) である。
また,直線AH上の点P に対して,
PB=PC=PD であるから, Oは直線AH 上にある。
よって、 直角三角形OBH に着目して考える。
(2)半径Rの球の体積は TR
(3) 内接する球の中心をI とすると, I から正四面体
各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を
Iを頂点とする4つの合同な四面体に分けると
(正四面体 ABCDの体積)=4×(四面体 IRC の体積)
これから 半径rを求める。
B
基本167
(3)
(例題167(3) で三角形の内接円の半径を求めるとき
三角形を3つに分け,面積を利用したのと同様)
(1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線 AH を下ろし、 外接
する球の中心を0とすると, 0は線分AH 上にあり
解答
OA=OB=R
ゆえに OH=AH-OA=
√6
3
a-R
検討
C
√6
AH=
a,
3
△OBH は直角三角形であるから, 三平方の定理により
BH+OH=OB2
a
BH= ・ は基本例
170 (1) の結果を用いた。
A
2
a
よって
√3
3
+(-a-R)=R²
2
整理して 2
2√6
aR=0
3
ゆえに R=
3 √√6
a=
a
2√6
4
(2) 正四面体 ABCDの体積を Vとすると
また、半径Rの球の体積を V1 とすると
B
a
V=
12
22
<V=1
-αは基本例
12
170 (2) の結果を用いた。
4
V1
=
-πR3= π
√6
a =
3
√6
よって
V1: V=
168
√2
12
=9:2√3