Question

ｴﾉｷ

問題の⑴について質問させて下さい！

2枚目の写真のように、私はn=1の時にkの式が最小値を取ることに注目して解きました。
ですが1枚目の写真の解答には私の解き方は書いてありませんでした。

2枚目の写真の解き方でも大丈夫なのでしょうか？

自然数の2乗となる数を平方数という。
08
(1) 自然数 α, n,kに対して, n(n+1)+α= (n+k)が成り立つとき.
a≧k²+2k-1
が成り立つことを示せ。
(2) n(n+1)+14 が平方数となるような自然数n をすべて求めよ。
ポイント (1)〔解法1〕 α= (n+k) -n (n+1) であるから a- (h+2k-1)を式変形
a=
して0以上となることを示す。
〔解法2] a=(n+k) -n (n+1) を式変形し,nについて整理する。 不等式の評価を用
いて示す。
(2) (n+1) + 14 はより大きいので自然数kを用いて (n+k) とおける。 α = 14 と
して (1) で示した不等式からんの範囲を限定し, kの値をn(n+1)+14=(n+k)²へ代入
して自然数n をすべて求める。
解法 1
(1) n(n+1)+α=(n+k)より,a=(n+k)^-n(n+1) であるから
a- (k²+2k-1)=(n+k)-n(n+1)-(k²+2k-1)
=2nk-n-2k+13 L2-15
= (2k-1)n- (2k-1)
= (2k-1) (n-1) 右辺はの
ここでk, nは自然数であるから, 2k-1>0, n-1≧0より
a- (k2+2k-1)≧0
よって, ak^+2k-1が成り立つ。
TXTY
(証明終)

1igh (h+1) + a = (h+k) ² FY₁
2
a = k ²+²hk - h
Z
lkthinh lo
ここでは自然数であるから、a=lkthi-hi-hの右辺について、
n=1のとき最小値をとる。上
F₂2 (kth) ² -n²-nz (k+l) ² - 1 ² - 1 = k ²+₂k-1
42 1². az K² +2k-1 -5 4# 9.

数ⅰa

Answer 1

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謎

α=(k+n)²-n²+n
kの各値について、"αがn=1で最小値を持つ "ことをどのように知りますか?
nが小さいほど、(k+n)²は小さく、(-n²)は大きく、(-n)は大きい。
n=1 で α=(k+n)²-n²+n が最小値を持つかどうかを直接決定する方法はない．

α=(k+n)²-n²+n=k²+(2k-1)n
k,nは自然数なので，(2k-1)>0 ，n≧1
したがって，(2k-1)n≧(2k-1)
k²+(2k-1)n ≧ k²+2k-1
α≧ k²+2k-1
要するに、この演繹は本の答えと同じである。