Question

はみるのん

答えがないのであっているのか分かりませんが
部分空間でないものは（2）だけであってますか？ら

問題2 (部分空間)
次の W が 2 の部分空間であるかどうか理由も含めて答えよ.
(1) W₁
(2)
W₂
(3) W3
= {2\
=
=
~
=
x=
x=
-{₁
x=
x1
X2
X₂
X2
|€ R² | 21=222}
ER²
| n=2=1}
|€ R² | 2₁=22=0}
(4) W₁ - {* - [*] ER² | ²₂20}
=

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Take

まろん様
WがR²の部分空間であるための条件は
X∈W , Y∈W , k∈R であるとき
① X+Y∈W
② kX∈W
です。
(解答) 以下、スペース短縮のため、横ベクトルで表示します。
X=［x1 x2］, Y=［y1 y2］, k∈R とすれば、
X+Y=［x1+y1 x2+y2］, kX=［kx1 kx2］
(1)
X∈W1,Y∈W1より x1=2x2 , y1=2y2
このとき、
　① x1+y1=2x2+2y2=2(x2+y2)　∴X+Y∈W1
　② kx1=k(2x2)=2k(x2)　∴kX∈W1　
よって、W1はR²の部分空間である。　■
(2)
X=［1 0］∈W2 , Y=［2 1］∈W2 であるが、
X+Y=［3 1］∉W2
よって、W2はR²の部分空間ではない。　■
(3)X∈W3,Y∈W3より x1=x2=0 , y1=y2=0
このとき、
　① x1+y1=0 , x2+y2=0　∴x1+y1=x2+y2=0　∴X+Y∈W3
　② kx1=0 , kx2=0　∴kx1=kx2=0　∴kX∈W3
よって、W3はR²の部分空間である。　■
(4)
X=［1 0］∈W4 , Y=［0 -1］∈W4 であるが、　← 1・0≧0 , 0・(-1)≧0 であるから
X+Y=［1 -1］∉W4
よって、W4はR²の部分空間ではない。　■
となります。

はみるのん

ありがとうございます！（4）見落としていました！全ての回答を丁寧に教えてくださりありがとうございます！