Question

琉

n(mod6)を考える、という手順でつまづきました。いまいち理解出来ていません。
何かの数字の倍数判定に余剰類を用いますが、今回のような6の約数のいずれかをもつ、というときにnを6で割ったあまりで分類するのはなぜですか？

13
(35点)
SER
nを自然数とする3つの整数n²+2n + 2, n + 2 の最大公約数Amを
ROELMA
求めよ.

22
A =BQ +R
n++ 2 = (n²³+2)(n²³2) + (6)
n²+ 2 = An, h²+²+2 = lan, h²+2 = C₁ &₁<.
lin;
bn=an(n²2) +6 と表されるから
antlnの最大公約数はanと6の最大公約数に等しい
ゆえにanとlanの最大公約数は6の約数、1,2,3,
のいずれかであるからAnも6の約数のいずれかであ
n (mod 2)
an
lin
Cn
n (modb)
2の倍数
3の倍数
An
0
OX
Q X
X
0
9 X 0
XOO
23
17 mod belt
NEOのとき An=2
n = 1₁5 a ε = An =3
n = 2,4のとき An=6
h = 3
のとき An=1
1
2
6
3
45
XOX
n (mod 3)
an
lin
Cn
X
1236
am
6 3

2022年
は An は 6の約数のいずれかであることが分かる.また,違う説明をすれば、整
数 p, g を用いて an = Amp, b = Ang とおけるので,この関係式に代入すると
Ang = Amp(n-2) +6より Ang-p(n²-2))=6と変形できるので,A が
6の約数であることが分かる。 後は On, bn, Cn が 2,3の倍数であるか否かを調べ
れば An が決定できる.
nを6で割った余り
2の倍数
3の倍数
An
後半で 2,3の倍数であることを合同式で調べている.そこで分かったことは
が偶数なら am, bn, C, は偶数で, nが奇数なら am, bn, Cn は奇数である. またnが
3の倍数でないなら am, bn, Cn は3の倍数で, nが3の倍数なら am, bn, Cn は3の
倍数でない。これをまとめると an, bn, C が 2,3の倍数であることを○と表記し、
そうでないことを×と表記して
解答・解説
0 1 2
O
X
X
O
2 3
Co
これらをn².n=nに代入すると
Cn-2= (an-2)(b-2)
3 x
O
O
6 1 6 3
X
4 5
O
×
C
XIC
×
別解は am, bn, Cn のみの式を作り,そこに含まれる整数の定数項の約数が An
あるという方針である.そこでまずnを消去していく。なぜbn-an²+4an
の式から Am の可能性が分かるかというと,前述同様 an = And, bn = Ang
おいて代入すると An (g-Amp+4p)=6と変形できるからである。つま
an, bn, Cn だけの式を作れば,an, bn, Cn の部分は Amでくくれて, Am (整数)=
(定数項)と変形できるからである。この式は次のようなものでもよい。
n²=an-2,n=bn-2, n=cn-2
:: Cn-anbn + 2an+ 2bn
4
(1) △ABC≡△OBCより∠ABP=∠OBP である。よっ
て, △ABP AOBP が成立し, AP = OP となり△OAP
は二等辺三角形である. PG と OA の交点を M とすれば、
EGは△OAP の重心であるからMはOA の中点である。
さらに, AOAP は二等辺三角形であるから,中線PMは
辺OAと垂直である
4
=
6
2√3