Question

お

図形と漸化式の範囲です。
やり方がわからないので教えて欲しいです。

図形と漸化式 (1)
本例題 35
「上の円は同一の点では交わらない。これらの円は平面をいくつの部分に分け
平面上にn個の円があって, それらのどの2個の円も互いに交わり、3個以
00000
るか。
& THINKING
CHART
漸化式を作成し, 解く問題 (求める個数を αとする)
1 ai, a α3, ・・・・・・を調べる (具体例で考える)
2 an
① まず, n=1, 2, 3 の場合について図をかくと、 下のようになる。
この図を参考に、
2
平面の部分は何個増加するだろうか?
n=2
とみ+1の関係を考える (漸化式を作成)・
n=1
an+1 を anとnの式で表した漸化式を作ろう。 円を1個追加すると､
①
平面の部分は+2
(交点も+2 )
ゆえに
n=3
Tran
①
5
(2)
平面の部分は +4
(交点も+4)
n個の円によって平面が個に分けられるとすると｣=2
平面上に条件を満たすn個の円があるとき,更に,条件を満
たす円を1個追加すると, n個の円とおのおの2点で交わる
から交点が2個できる。 この2n個の交点で,追加した円
がn個の弧に分割される。これらの弧によって, その弧が
含まれる平面の部分が2分割されるから,平面の部分は 2n
個だけ増加する。
よって an+1=an+2n
よって, n ≧2のとき
an+1=an=2n
an=a₁ + Z2k=2+2• 1² (n−1)n=n²_n+2
k=1
=2であるから, この式はn=1のときにも成り立つ。
したがって, n個の円は平面を (n²-n+2) 個の部分に分ける。
• RACTICE 35
⑧⑨
6
3
⑦
4
基本 29
①
分割された弧の数と同じだ
け平面の部分が増える。
403
②
1歳
4
新化式
階差数列の一般項が2n
n=1 とすると
1²-1+2=2
n≧2 とする。 平面上にn個の円があって,それらのどの2個の円も互いに交わり,
ENE
3個以上の円は同一の点では交わらない。これらの円によって,交点はいくつできる