Question

あ

東工大1999年度大問2より。
僕の解き方でうまくいかないのはなぜですか？

39 1999年度 〔2〕
斜辺の長さが1である正n角錐を考える。つまり,底面を正n角形 AiA2…
A 頂点を0と表せば 0A1=0A2==0A=1である。 そのような正n角
錐のなかで最大の体積をもつものを Cm とする。
(1) Cm の体積 V" を求めよ。
(2) lim V を求めよ。
Level A

39
Am
An
O
A₁ A₂ As
DR
(1) 底面の正n角形が半径rの
円に内接しているとおくと
2TV
V₁ = 4√(- = - + ² sin ²25 ) X √1-F² × =
X
n
=
6
よって、Vnが最大となるのは、
23
ariroが最大となるときである。
2m
- Sin 27² √²-²
f(x)= r²-√² 22:<1.
fir) = 4r²-br²
Vn: Sin 2 TV 2
より、f(r)の増減は以下の通り。
45
ro
3
fin ( + 0
fin 1 =>
=2r² (2-3r²) r = ± √1²³²
・塩
よって、耳のときf(r)に
最大値をとるため、
142
√√3
=
213
9
22
-hsin 27
(2) V₁ = 25-8-2
2√3
-245-22. Sh
H 4√√3.
1 tr 2 r
Iim Ve
0
27
No
2₁
4
Sin 2π
2.70
n
Tim 453
to
G
4√3 TC ---
9
・TV.
であるから、
Sh. Zat
2at

202 解答編
39
斜辺の長さが1である正n角錐を考える。 つまり、底面を正n角形 AA 2….. Am. 頂
点をOと表せば OA」=OA²==0A = 1 である。 そのような正n角錐のなかで最
大の体積をもつものをCとする｡
1999年度 〔2〕
(1) Cm 体積 Vn を求めよ。
(2) lim V を求めよ。
818
ポイント (1) 正n角錐の高さをxとおいて,体積Vをxで表す。 xの関数 Vの最大
値が求める V. である。 あるいは, 斜辺と底面のなす角を0とおいてもよい。
sint
←→0 t
(2) (1) 求め V, の式において, 適当な置き換えを行えば lim
できる。
解法 1
(1) 底面の中心をHとして, 正n角錐の高さ OH = x
(0<x<1), HA」 = HA2== HA=rとおくと
OA」 = OA2==0A=1より
x² +²²=1 r² =1-x²-183
このことを用いれば、底面の面積は
2π
n×△HA1A2=nx=rsir
n
dV1
dx 6
=(1-x²) sin
27
n
よって, 正n角錐の体積をVとすると
1,1
2π)
v=x/(1-²) (sin ²) × x
xx
(sin(x-²) (0<x<1)
2
=(sin ²)(1-3x²)
n
よって,Vの増減表は右のようになり、x=-
√√3
のと
dV
dx
V
Ai
27
n
0
Level A
=1の公式が利用
A2
+
O
1
√√3
0
Z 極大
$ 10
I
1
は最大となる。Vの最大値 V,は
v. -1 (sin ²2). (1-3)=√3
(2) (1)より
11
lim Vm=
+00
底面の面積は
dV
2=t とおくと,n→∞はt→0, lim²
10 t
V=
11
32
lim V₁ =
1
12
√√3 sint_2√3
27
t
(これは、母線の長さが1の円錐の体積の最大値である)
解法2
1
24
Vを0で微分して
=
-lim 2π・・
0
=
(1) 正n角錐の底面の中心を耳とし OA
(0<0</7)
とおくと 1, OH⊥AHより
OH = sin0, AH=A2H=・・・=AH = cos0
n⋅ AA₁A₂H=ncos²0-sin-
n/12 cos2d-sin
=
n
よって、正n角錐の体積をVとして
ncos2D.sin-
n sin
dV 1
nsin
de 24
1
24
5=0のとき
n
√√3
2π
n
2π
nsin -sin 20 cos 0
n sin
-lim n sin
2700
2π
onsin-
n
2π
27
2π
n
27
nsin
2π
n
sin t
-1であるから
･･ sin 0
cos0=
2π
2π
n
(sin 30+ sin 0) (0<0<
[2-3
12
......(答)
.....(答)
(3 cos 30+ cos 0)
cos (3 cos²0-2) (0<0<
20
A₁
2π
-{3 (4cos' A-3cose) + cos} ( 3倍角の公式より)
n
空間図形 203
2x
n
A2
H
( 2倍角の公式より)
(積和の公式より)
これを満たすをαとおく。(ただし,COSα= 0<a<2)
3

東工大 数学 難関大 過去問