Question

はれわたーる

緑で囲った部分でなぜ余りが2になるかが分かりません…よろしくお願いします💦

重要 例7 整数の問題への二項定理の利用
kを自然数とする。 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余り
2であることを示せ。
-3で割った余りが 0 1,2
指針 271+4(Zは自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは,
(gはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し,k=3q+20
kが 3g, 3g+1, 3g+2
合だけ2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば,k=3gのときは, 2=239=8°であり, 8°= (7+1)として 二項定理を利用
ると2を7で割ったときの余りを求めることができる。
か2である。
kを3で割った商をg とすると, kは 3g, 3g+1, 3g+2 3で割った余りは0
k=3, 6, 9,
解答 のいずれかで表される。
......
[1] k=3gのとき, g≧1 であるから
2'=239=(23)'=8°=(7+1)^
=,Co79+,C179-1++,C9-17+,Cq
=7(,C,79-'+,C179-2
++,Cq-1 +1)
よって2を7で割った余りは1である。
[2] k=3g+1のとき, g≧0であり個
g=0 すなわち k=1のとき
g≧1のとき
2=2=7.0+2
2k=239+1=2・239=2・8°=2(7+1)^
=7.2(C79-1+,C179-2+...... +9C9-1)+2
よって,2を7で割った余りは2である。
[3]=3g+2のとき, g≧0であり
g=0 すなわちん=2のとき
q≧1のとき 2=239+2=22・239=4・8°=4(7+1)。
2"=22=4=7・0+4
<二項定理
!!!
←合同式については
=7.4(C79-1+C179-2+..+°Cq-1) +4 [1] の式を利用。
■■■
(3)
③
は整数で,
2=7×(整数)+1の
k=1, 4,7,
二項定理を適用する
指数は自然数でなけれ
ならないから, q=0 と
g≧1 で分けて考える。
(*)は [1] の式を利用
して導いている。
k=2, 5,8,
よって,2を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から 2 を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。
したがって2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である
別解 合同式の利用。
A までは同じ。 8
RE

数2 二項定理