Question

もんちゃん

この問題の解答で線の引いてあるところがわかりません。教えていただきたいです。よろしくお願いします

182
/3点で交わるものとする。 原点以外の交点のx座標をα,β (0<α<B)とする。
2つの曲線 C:y=x(x-3)2,C2:y=m'x (m は正の実数)は異なる
(1) は, x="で極大値1, x="
C₁
で極小値をとる。
(2) m の値の範囲は << でありα=m,B="+m
オ
である。
(3) C と C2 で囲まれた2つの領域の面積が等しくなるのは,m=
である。このとき, 2つの領域の面積の和は[
となる。
のとき
[15 北海道薬大〕

5=9
181 (ア) 3 (イ) 3t2+t+1 (ウ) - 1/28(エ) 1/2
(1) x2-2x-1=(2a-2)x-1とすると
x(x-2a)=0
よってx=0, 2a
a>0であるから
S=Sol(2a-2)x−1−(x−2x-1)}dx
(2)
0
・2a
==
-52², x(x-2a)dx=1/(2a-0) 3
4
4
1/23a3=36 とするとa=27
a は実数であるから a=73
2x2> -(x-1)2 であ
るから
S(t)
=${2x2+(x-1)2}dx
t
=S+ (3x-2x+1)dx
したがって, S(t) は t=
= 11
12
をとる。
=[ポーx2+x]+]
= (t+1)³—(t+1)² +t+1 − (t³_t² +t)
= 3t2+t+1
y'=0とするとx=1,3
yの増減表は次のようになる。
x
y'
y
1\2
11
平方完成すると s(t) = 3 (t + 2)² + 12x
A
+
1
0
極大
4
...
182 (1) = x(x-3)2=x-6x2+9xから
y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
T
t
11
y1
-1
DODA
3
0 +
極小
0
1
y=2x2
t+1
DA
y=-(x-1)2
のとき最小値
+x
ゆえに, α= 3-m,β="3+m とおくと,
α>0 であるから m<3
BAI
よって, C1 は x="1で極大値 4, x="3で極
小値 0 をとる。
(2) x(x-3)=mix から x{(x-3)2-m²}=0 81
ゆえに xx-(3-m)}x-(3+m)}= 0
よってx=0,3-m, 3+m
>0であるから3-m<3+m
m>0と合わせて 0<m<3
このとき, 0,α, βの値はそれぞれ異なり, C
と C2 は異なる3点で交わる。
(3) 右の図のように, 領
域の面積をそれぞれ S,
Tとすると,S=T と
なるための条件は
Sxx-3²³-m²x)dx
=S²{m²x− x(x − 3)²}dx
したがって Sex(x-3)-m²x}dx=0
左辺の定積分をIとすると?
1=S*{x³−6x²+(9— m²)x}dx
9-m²
=-2x³+₁ x2
2
= ²(8²-88+2(9 — m²)}
I=0のとき,β≠0 であるから?
β2-8β+2(9-m²)=0
β=3+m を代入して整理すると
m²+2m-3=0
= 25²(x² - 6x² +8x)dx
72
=2[1-2x+4x ] - 8
=8
よって (m-1)(m+3)=0
0<m<3であるから m="1
2つの領域の面積の和は, S=T から S+T=2S
であり, m=1よりα=3−1=2であるから
2S=2${x(x-3)^-m²x}dx
α 3 βx
y-(-t³+4t) = (-3t²+4)(x-t)
すなわち
183 (1) f(x)=x+4x から f'(x)=-3x2+4
よって、 直線ℓの方程式は
y=(-3t2+4)x+2t3
(2) 右図から
Si(t)
=f'(x+4x)dx
y
12t3
S2(t)
-2 O
y=f(x)
C2
S₁(t)
P
t 2
=(-4+8)-(-4+2²)=4-21°+4
?
x

定積分 面積