Question

Hi（受験生）

66.
BP:PC=AB:ACより
BP:PC=AB:ADと言えるのは
AC=ADだからですか？？

)
E
性質。
て方
始めよ
基本例題66 角の二等分線の定理の逆
△ABCの辺BC を AB AC に内分する点をPとする。 このとき, APは∠A
の二等分線であることを証明せよ。
KORE & COCK
指針 p.402 基本事項 ② 定理1 (内角の二等分線の定理) の逆である。 題意を式で表すと
BP:PC=AB:ACAPは∠Aの二等分線 ( ∠BAP=∠CAP)
線分の比に関する条件から,角が等しいことを示すには,平行線を利用するとよい。
∠Aの二等分線⇒BP:PC=AB:AC の証明 (p.402 解説)にならい,まず, 辺BA
のAを越える延長上に, AC=AD となるような点Dをとることから始める。
別解∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとして,2点P, Dが一致することを示す。
なお,このような証明方法を 同一法または一致法という。
3830
解答
△ABCにおいて、辺BAの延長上に点D
をAC=AD となるようにとる。
BP: PC=AB:ACのとき,
BP:PC=BA: AD から
25
AP // DC
ゆえに
ACAD から
12/48
∠BAP=∠ADC 円 BPC
∠PAC=∠ACD
∠BAP=∠PAC
すなわち, APは∠Aの二等分線である。
別解 辺BC上の点Pが
①
∠ADC=∠ACD
注意
②から
BP:PC=AB:AC
.... (1)
を満たしているとする。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると, 内角の二等
分線の定理により
D
BETAGA
AB:AC=BD: DC ･･････
BP:PC=BD:DC
②
平行線と線分の比の性質の
逆
1390 38
p.402 基本事項 ②
平行線の同位角、錯角はそ
れぞれ等しい。
△ACD は二等辺三角形。
031185A
U AR
DP C
B
HULA ICA
RO
よってPとDは辺BCを同じ比に内分するから一致する。
したがって APは∠Aの二等分線である。
中の
p.402 基本事項 2② の定理 2 についても逆が成り立つ。 下の練習 66 でその証明に取り組
んでみよう。
GORITO
BCの辺BC を AB: AC に外分する点をQとする。 このと
線であることを証明せよ。
405
章 三角形の辺の比、五心
3章
10