Question

Hi（受験生）

114.
この問題の記述にグラフは必要ですか？
（答えを考える時に作図しましたが、記述として丁寧にグラフを書くのは面倒だな、と感じました。）

0
の
に凸の放物
ある条件と同じ
基本例題 14 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件
00000
0≦x≦8のすべてのxの値に対して, 不等式x-2x+m+60 が成り立つよ
うな定数mの値の範囲を求めよ。
[類 奈良大〕 ■基本 79
に接する。
ある条件と
ではなくD
指針 この問題ではxの変域に制限があるから、 例題 113と同じように考えてはダメ!
そこで、問題をグラフにおき換えてみると、求める条件は
「0≦x8 の範囲でy=x²-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
「ということ。これを (区間内の最小値) > 0 と考えて進める。 ・・・・・・・・・
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
解答
求める条件は 0≦x≦8 におけるf(x)=x²-2mx+m+6の最
小値が正となることである。
または「任意ゆえに m+6>0
等式が成り立つ、
雪が、すべての
f(x)=(x-m)"-m²+m+6であるから、軸は直線x=m
[1] m<0のとき, f(x)はx=0 で最小
[1]
となり, 最小値はf(0)=m+6
よってm>-6
<0であるから(*) -6<m<0.... ①
[20≦m≦8のとき, f(x)はx=mで最
小となり, 最小値は
f(m)=-m²+m+6
ゆえに
m²+m+6>0
すなわち m²-m-6<0
これを解くと, (m+2)(m-3)<0 から
-2<m<3
[3]
0≦m≦8であるから(*) 0≦m<3 ...... ②
m
[3]8<m のとき, f(x)はx=8で最小
となり, 最小値はf(8)=-15m+70
[2]
ゆえに,15m+70> 0から m< 3
これは8<m を満たさない。 (*)
求める の値の範囲は ① ② を合わせて
POINT
08
0m8
m
140 8 x
-6<m<3
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x) > 0
区間でf(x)<0
0
x
<f(x)=x2-2mx+m+6
(0≦x) の最小値を求め
る。 → p.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0≦xの左外か,内か.
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから、区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら, 頂点 (x=m) で最小
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから 区間の右端
(x=8) で最小となる。
(*) 場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
合わせた範囲をとる。
[区間内のf(x)の最小値] > 0
[区間内のf(x)の最大値] <0
181
3章
13
2
次不等式

Answer 1

coco

この問題が単体で出た場合はグラフを書いた方がいいと思います。しかし、後に勉強していく中で気づかれると思いますが、三角関数や微分の応用といった単元の中でこの解き方を利用して解いて行くようなものがあります。そういった場合はこのグラフを書けることよりも全体の問題を解かせることを目的として出題されているので書く必要は無いかと思います。