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＿楕円の方程式の証明と、楕円の方程式の条件と、は、違う。別物。
＿楕円の方程式の条件では、bは「点PがY軸上にあるときのY座標」とかは、一切言っていない。
＿式と説明図とからは、b は短軸半径の大きさであるとしか、読み取れない。
＿「式と説明図とからは、b は短軸半径の大きさであるとしか、読み取れない。」→明示適当に文字で説明されている、とは、言っていない。説明図からそう読み取れる。と、いう意味です。
＿説明図には、y軸と楕円との交点のy軸の読み取りに、b と -b とが記載されていますよね？ b を例えば、点Pの y座標としているのならば、この様な図にはならない。
回答ありがとうございます。
>b を例えば、点Pの y座標としているのならば、この様なずっとにはならない。<
どういうことかわからないです。このことに関してもう少し詳しい説明をおねがいします。(自分の理解力がないためにすみません…)
やはりbは距離を表すからb>0になるのですね。となると、写真の導出部分についてですが、もしyが負の象限で考えた場合、b<0となりますが(y座標を表すから)このときa>0,b<0という不等式が成り立つと思うのですが、ここからどのようにa>b>0を示されるのですか？
＿誤変換です。既に修正しています。
＿負の領域で -b としているだから、b は絶対値的なものと読み取る。
＿座標は、説明の為に、人間が勝手に与えたもの。
＿だから、a>b>0 楕円の方程式の条件。
＿y軸に長軸のある縦長の楕円だって、中心が原点にない楕円だって、長軸の方向が斜めになっている楕円だってある訳です。
＿証明の為に使った仮定と、図形の方程式の条件とは、別の話しです。
yが負の象限で考える場合、-b>0(b>0)とおいて考えるのでしょうか？
間違えました。-b<0(b>0)ですかね。
＿『楕円の方程式の証明と、楕円の方程式の条件と、は、違う。別物。』
＿それから、新しく知った言葉を使いたがり、また、ウェブ・コンテンツとか、で、証明と導出とは同じと書いてあるものがあるから、混同してしまうのも分からないではないけれども、導出とは単なる式変形で、証明とは論理的に正しい事を証明すること、なので、本来は全く違う。
＿どっかの塾のせいか、導出、導出、という言葉を最近は使いたがるけれども、本の説明に導出なんて一回も出て来ませんよね？
＿「楕円の方程式を求めてみましょう」です。説明しているだけです。数式だけ使っている訳ではなく、言葉でも図でも説明していますよね？導出ではありません。
＿点Pが負の領解の場合が、気になるのだったら、場合分けすれば良いのです。
＿全く同じ方程式になることは、直ぐ分かるでしょう。だから、省略しているのです。
＿そして、『楕円の方程式の証明と、楕円の方程式の条件と、は、違う。別物。』だから、夫々(それぞれ)で使われている a, b も全く別物です。
＿『楕円の方程式の証明と、楕円の方程式の条件と、は、違う。別物。』だから、夫々(それぞれ)で使われている a, b も全く別物です。
＿画像が添付している楕円の方程式の方では、-b<0 と考えますが、リンクを貼ってある方で、負の領解を考える場合は、b<0 で考えますが、2乗するので、出て来る方程式は同じです。夫々(それぞれ)で使われている a, b は別物です。
回答者様のおうむ返しになってしまいますが、
リンクの説明ではbはy軸上のy座標を表しているから、b>0,b<0の2通りの表し方があるけど(リンクの説明ではb²を作ることが目的だからb>0,b<0はあまり関係ないということ？)添付した画像では、bは短辺半径？を表す、つまりbは大きさを表しているから必ずb>0でなければならない。ということからそれぞれでbの扱いが違うという理解でよいでしょうか？
今、ふと思ったのですが、リンクの説明の赤線部の右図において、y≦0のy軸上の座標が「-b」と表されているということは、リンクの説明の方も常にb>0なのでは？と思いました。
＿「リンクの説明ではbはy軸上のy座標を表しているから、b>0,b<0の2通りの表し方があるけど」→その通り。
＿「(リンクの説明ではb²を作ることが目的だから」→違う。リンクの説明の目的は、楕円の方程式が論理的に正しい事を証明すること。その過程でピタゴラスの定理を用いているので、辺の長さは b<0 のときも、|b|=-b となっても、楕円の方程式は2乗するので同じになる。
＿a, b の値域は、論理的に正しい事を証明する段階と、図形の方程式と、では違う。例え同じ場合であっても、別々に考えなければならない。
＿「リンクの説明の赤線部の右図において、y≦0のy軸上の座標が「-b」と表されているということは、リンクの説明の方も常にb>0なのでは？と思いました。」→違う。証明の段階で、「点Pがy軸上にある時のy座標をb(b>0) とすると、」と、仮定しているので、リンクの図の負の領域の交点は -b となっている。
＿点Pがy軸上にある時の交点は2つあるのに、何で勝手に正の領域の方を選べるのか？と、言うのが、たたた さんの元々の疑問何だよね？だから、2つあるなら、場合分けして両方の証明をすれば良いでしょ？そして、点Pを正の領域の交点で選んでも、負の領域の交点で選んでも、楕円の方程式は同じになるよね？だから、省略しているだけだよ。と、言っている。
＿添付画像の a>b>0 の仮定は、長軸方向に x座標を、短軸方向に y座標を取っている事の説明の為の仮定。
＿長軸半径が a, 短軸半径が b、と言う意味であり、リンクの方の y座標の値を b にしているのとは、意味合いが違う。
少し話が逸れているかもですが、
リンクの楕円の説明の方では「y軸上のy座標」を
bと定めていることから、bはb>0,b<0と2通りの場合があり、添付した画像の方では、a>b>0と書いてあることからb>0といったようにリンクの楕円の説明と添付した画像でbの範囲が違うことから(多分こんな問題はないと思いますが)「bの値を求めよ」という問題があったとしたら添付画像のb>0に則れば、bの値は1つだけだけど、リンクの説明のb>0,b<0に則ればbの値は±の2つの値が出てきてズレが起こるのでは？と思いました。(このような問題が出る場合には「bは短軸半径である」や「bは座標だ」などの何かしらのbについての範囲や条件が与えられますかね？)
＿『「(リンクの説明ではb²を作ることが目的だから」→違う。リンクの説明の目的は、楕円の方程式が論理的に正しい事を証明すること。』既に書いたけれども、リンクの方の目的は、楕円の方程式が論理的に正しい事を証明すること。そのために、仮定として、b>0 と自分(証明する人)が定めた。楕円の方程式を証明するためだから、b は不明数でなければならない。特定の値は取れない。
＿b の値を求めるのは、楕円の方程式の利用。証明ではない。詰まり、添付画像の方。
＿その時には、何を求めるのか、当然設問に書かれる。短軸半径を求めよ、とか、交点の座標を求めよ、とか。y軸との交点を求めよ、と、書かれていれば、中心が原点にあれば2つの交点の座標を答えなければならない。
リンクの説明は「b>0,b<0(分母≠0だからb≠0)というようにbがどんな実数でも必ずb²が成り立つ(つまり(0を除く)全ての実数において楕円の方程式のあの形が成り立つ)」ということを示しているだけだから添付画像とはまた別物ということでしょうか？
もし、「y軸との交点をを求めよ」という問題の場合には、0<b<aという条件ではなく「0<b<a,a<b<0」という条件に置き換わるのでしょうか？
＿「リンクの説明は「b>0,b<0(分母≠0だからb≠0)というようにbがどんな実数でも必ずb²が成り立つ(つまり(0を除く)全ての実数において楕円の方程式のあの形が成り立つ)」ということを示しているだけだから添付画像とはまた別物ということでしょうか？」→その通り。
＿『「y軸との交点をを求めよ」という問題の場合には、0<b<aという条件ではなく「0<b<a,a<b<0」という条件に置き換わるのでしょうか？』→微妙に違う。条件示された図形の方程式の式、(及び、又は、)図示された座標上の楕円に依って決まるのです。置き換わるのではない。既に書いたが、楕円の中心は必ず原点にある訳ではなく、また、長軸がy軸方向かも知れないし、斜めかも知れない。それは、与えられた図形の方程式やら、図やら、で、決まるのです。
添付画像の楕円の方程式のとき[「y軸との交点を求めよ」という時、答えはy=±bになり、「a>b>0からy=-bはb>0を満たさないじゃん！」と思いましたが、b>0というのは「短軸半径(の大きさ)」のことを指していて、y軸との交点>0というのを示しているわけではない]という理解でよいでしょうか？
＿『添付画像の楕円の方程式のとき[「y軸との交点を求めよ」という時、答えはy=±bになり、「a>b>0からy=-bはb>0を満たさないじゃん！」と思いましたが、b>0というのは「短軸半径(の大きさ)」のことを指していて、y軸との交点>0というのを示しているわけではない]という理解でよいでしょうか？』→そうです。それも、既に何度も書いています。
＿一番最初に書いていますよね？
＿『式と説明図とからは、b は短軸半径の大きさであるとしか、読み取れない。』
長々とお付き合いくださりありがとうございました！
理解することができました。
【訂正】
＿「明示適当に文字で説明されている、」：誤→「明示的に文字で説明されている、」：正。誤変換です。
＿導出とか、立式とか、の言葉は余り使わない方が良いですよ。
＿その意味をキチンと理解して、大学の数学科とかに進んだ人とかが使う言葉です。
＿証明する、とか、説明する、とか、(式を)組み立てる、(式を)導くとか、(式を)変形するとか、を、使った方が良いです。
＿clearenote の質問で、導出とか、言葉の意味まで理解して使っているな、と、感じたのは、半年で4〜5人だけです。
【訂正】
＿「点Pが負の領解の場合が、」：誤→「点Pが負の領域の場合が、」：正。誤変換です。
ごめんなさい。また質問させてください。
これと同じ質問を別のサイト(教えてgoo)でも投稿したのですが、
ぺんぎんさんは、リンクの説明のbと添付画像のbは意味が異なるとおっしゃっていましたが、以下の画像の回答によると、「リンクの説明のbも添付画像のbも同じことを意味している」と説明しているように感じ、ぺんぎんさんと少しズレがあるなと思いましたぺんぎんさんがこの説明をご覧になって、以下の画像の説明はどういうことなのか(リンクの説明と添付画像のbの扱いがぺんぎんさんと以下の画像の回答者で異なっていると感じ混乱しています。)をさらに解説してくださると幸いです。
＿教えてgoo の方では、a, b ではなくて、
|a|, |b|、で説明していますよね？
＿|a|>0 とは、(1). a>0 のとき、a>0、(2). a<0 のとき、-a>0、と場合分けすることです。
＿|a| も、|b| も、添付画像でも、リンクでも使われていませんよね？教えてgooの回答者が勝手に使っているだけです。
＿何度も書いていますが、リンク画像では、b をy座標とする。と、書かれています。y座標ですから正の値も負の値も取りうります。そこで楕円の、y座標が正の値だけを考えましょう。と、値域 b>0 の条件を付けました。これは、|b| とは意味が違います。あくまで、定義としては、b は、楕円の方程式の y 座標だからです。だから、リンクの画像は負の領域も書かれているのです。b の値は y座標の負の値も取りうるけれども、今は y座標の正の値だけを考えますよ、と、いう意味です。
＿だから、負の値を考えないのは可笑しい、と、たたた さんは、感じたのですよね？
＿そして、それは、ある意味その通りですが、単に省略しているだけだ、と、既に回答しています。
＿リンクの画像も、楕円と y軸の座標を -b と書いていますが、これは図が間違っているのです。言い方を替えれば、定義と条件を混同しているし、定義と図とが矛盾しているのです。
＿これに対して、添付画像では、定義の記述はなく、条件だけが示され、図では y軸の負の領域と楕円との交点に -b と書いてあるので、短軸半径としか読み取れない、と、言っているのです。
＿リンクでは、明示的に bを y軸の座標とする、と書かれているのですよね？
＿リンクの画像が、文字の説明と矛盾している図を載せているから混乱しているのです。
回答ありがとうございます。
今、もう一度リンクの説明を見て思ったのですが、「b²+c²=a²⇔b²=a²-c²」であることと今までの説明よりa>c>0であることから、b>0となるのは自明なのでは？と思いました。
＿b=-3, a=4, c=5、のとき、「b²+c²=a²⇔b²=a²-c²」です。b>0 は自明ではありません。b>0 と、値域の指定があるから、b>0 なのです。
＿そもそも、この参考書ではなく、別の参考書で勉強した方が良い。たたた さんは、細かい言葉遣いが気になる性質の人であるのに対して、この参考書の人は言葉は厳密には使っていない。だから、文字の説明と図とに矛盾があっても気にしていない。
＿他の箇所でも同様のことは起こり得る。
回答ありがとうございます。
いちゃもんをつける感じになってしまいますが、
リンクの説明の黄線部に「a>0,c>0」と置いている。これも考慮したら、a>c>0であることから、やはりb>0は自明なのでは？と思ってしまいました…
＿a>c>0 と b>0 と、には、何の関連性もないですよね？
＿明示的に、赤のマーカー部で、b は、楕円とy座標との交点Pの y座標と、定義しています。b>0 は、変域の条件として与えられたものです。
＿そもそも、交点が2つあるのに、勝手に b>0 と決めつけるのは、おかしい、と言う疑問を たたた さんが感じたのがこの質問の最初なのですよね？
＿最初に自分の書いた質問を良く読んで下さい。
回答ありがとうございます。
先ほどの疑問は以下の写真の赤線部を見て、リンクの説明でも、以下の写真と同じようにb>0と言えるのでは？と思ったことが理由です。しかし今考えると、以下の写真の方には、「bをy軸との交点のy座標とする」といったリンクの説明と同じような文言がないことから、以下の写真とリンクの説明でもbの意味が違うのでは？と思いました。やはりリンクの説明では「bをy軸との交点のy座標とする」という文言があることからb<0の可能性もあるということでしょうか？
＿それから、問題をどんどん解いた方がよっぽど自分の為になると思いますけれども。
＿疑問があって、自分で考えを構築すること出来るのなら、それも良いけれども、自分の考えを構築する基礎が出来ていないから、他の人の意見を聞く度に自分の考えがグラグラ揺らいでしまうのです。
＿疑問は疑問のままに取っておいて、設問を沢山解く事で、経験を積むことで、あれはそう言う意味だったんだ、と、分かる事もあるのです。
＿楕円とy軸との交点は2つある。
＿その y座標は負の値のものと、正の値のものと、がある。
＿2つあるから、話しを進めるの為に、b>0 として変域を定めた。
＿最初の、たたた さんの疑問は、2つあるのに、勝手に性の値に恣意的に決めるのは可笑しい。
＿私の回答は、では、交点は2個しかないのだから、場合分けして、負の値についても、楕円の方程式を求めれば良いよ。そうして出て来た方程式は、b が正の値であっても、負の値であっても、全く同じ楕円の方程式になるよね？
＿じゃあ、添付画像でいきなり a>b>0 としているのは何故？
＿楕円の方程式が正しいと証明するために用いた b とは違って、aは長径半径、bは短径半径、として使っているよ。座標とする、と、定義はどこにも書いていないよね？
＿と言う事。
＿何度も何度も何度も、同じ事を書いています。
＿楕円の方程式の証明と、楕円の方程式の条件と、は、違う。別物。
＿楕円の方程式の条件では、bは「点PがY軸上にあるときのY座標」とかは、一切言っていない。
＿式と説明図とからは、b は短軸半径の大きさであるとしか、読み取れない。
本当にありがとうございました。
『＿最初の、たたた さんの疑問は、2つあるのに、勝手に性の値に恣意的に決めるのは可笑しい。
＿私の回答は、では、交点は2個しかないのだから、場合分けして、負の値についても、楕円の方程式を求めれば良いよ。そうして出て来た方程式は、b が正の値であっても、負の値であっても、全く同じ楕円の方程式になるよね？』
＿楕円の方程式が正しい事を証明する段階に於いて、証明とは他に可能性がないことを明示的に示す事であるから、勝手に b>0 とすることが可笑しい、と、言うのは一理ある。
＿でも、楕円は対称性があり、負の領域を使って証明しても、たやすく同じ方程式が導き出される。
＿利用の段階では、特に、a,b,c，が定義されていないのであれば、式と図とから、条件の意味を掴むしかない。
回答ありがとうございます。
「bは短辺半径の大きさ」という説明はどこに書かれていますか？