重要 例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2)
媒介変数tによって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と,
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
PALER
CH
CHART
解答
図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0.
また
OLUTION
基本例題228 では,t の変化に伴ってxは常に増加
したが, この問題ではxの変化が単調でないとこ
ろがある。
右の図のように、 t=0 のときの点をA, x座標が
最大となる点をB (t=to でx座標が最大になると
する), t=π のときの点をCとする。
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少
に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往
復する区間がある｡
したがって, 曲線 AB をy, 曲線 BC を とすると, 求める面積Sは
CONTO
S=Synx Synx と表される。・・･・・
2008
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcostanial
=2sint(1-cost)
よって, y=0 とすると
0≦t≦x から t=0, π
次に, x = 2cost-cos 2t から
dx
dt
-=-2sint+2sin 2t
=-2sint+2(2sintcost)
=2sint(2cost-1)
0 <t<π において
1
FAVO
dx
- = 0 とすると, sint> 0 から
dt
「
cost=-
ゆえに
π
t=₁
よって、xの値の増減は右の表のようになる。
sint = 0 または cost=1+sajest
15 0<a
Fachs
C
In
t
dx
dt
x
よって,xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式
を立てる。また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からの積分に直
して計算するとよい｡
-3
t=
を求めている。
y2
0
0
1
0000
y₁
13
S
曲線が往復
している区間
(小
...
yA
+
0
Hinf. 0≦t≦π のとき
sint≧0,cost≦1 から
y=2sint(1-cost) 20
としても,y≧0 がわかる。
0
A
1
t=0+
π
3
0
3
2
基本 228
***
•B
TI
[]
t=to
π
0
-3
ゆえに, osts におけるy をyi, sts におけるyを
X=- 20030-caso
=2-1
[ ] とすると, 求める面積Sは
s=S²¸y=dx−Svidx
ここで、0≦
osts において、
x=1のとき t=0,
であるから
また、において
x=2のとき 一
であるから
よって
3
x= のとき
S² vidx=Sy dx
ここで
dt dt
x=3のときt="
S²¸yzdx=Syddt
t=7
s-Syndx-S² vndx-Syddi - Sydd
dt
dx
-Sidedt + Sy dr dt-Sydx dt
=S(2sint-sin2t)(−2sint+2sin2t)dt
= S-2s
-2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt
=2f (sin2t-3sin2tsint+2sint)dt
4t
sin 2t dt-S¹-cost dt-t-sin 4-
・dt=-
2
(3sin2tsintdt-3" 2 sint cost-sintdt
EES
S2 sintdt=2^1-69824dt=[1-1/2 sin24] 月
sin'tdt=2f"1-cos2tat=|
=1
S=
=
-65 sint cost dt = 65" sinºt(sint)dt = 6-sin't] =0
=6
Y
-3
注意 と は,xの式と
しては異なるから
|Sydx-vidx=S_¸ydx
としてはいけない。
一方の式としては同じ
y=2sint-sin2t) で表さ
れる。
355
Sf(x) dx = -f(x) dx
Sf(x) dx + f(x) dx
-Sof(x)dx
← S₁ƒ (x) dx = -S₁ƒ (x) dx
1-cos 20
2
inf. 積和の公式から
3sin2tsintdt
sin'0=
---√ (cos
(cos 3t-cost)dt
-sin 3t-
=0
したがってS203
としてもよい。
[inf. この例題の曲線は, カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。 Tri
y
PRACTICE・・・･ 232 ④
媒介変数tによって, x=2t+t, y=t+212 (-2≦t≦0) と表される曲線と, y軸で
囲まれた図形の面積Sを求めよ。
ds
de
8章
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