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基本例題 102 無限等比級数の応用 (2)
∠XOY [=60°] の2辺OX, OY に接する半径1の
円の中心をOとする。 線分00 円 01との交点
を中心とし, 2辺 OX, OY に接する円を 0 とする。
*****, On,
以下、同じようにして、 順に円O3,
を作る。 このとき,円O1,02,
を求めよ。
・の面積の総和
CHART OLUTION
図形と極限
......
n番目と (n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る ･･････
解答
円Oの半径,面積を,それぞれrn, Sn
とする。 円0mは2辺OX, OY に接し
ているので, 円 0 の中心0 は,2辺
OX, OY から等距離にある。
よって, 点0 は ∠XOY の二等分線上
にある。
ゆえに,
O
.
X00=60°÷2=30°であるから
00n=2rn
これと OnOn+1=00n-00n+1 から
rn=2rn-2rn+)
円O, On+1の半径をそれぞれrn, Yn+1 として, In と rn+1 の関係式を導く。 直角
三角形に注目するとよい。
Yn+1=
ゆえに
また
\n-1
よって = (1/2) したがって
2
-rn
π
>
4
21+1.
3
TC
n=1
305
Y
n+1
n+1
10100000
X
ブル ①
H
8
その面積の総和 ΣSn は,初項 π,公比
n=1
ゆえに, 円 01, O2,
の無限等比級数である。公比 + <1 であるから,和は収
4
束し, その和は
X
n-1
Sn=πr²=π
² = π ( 1 ) ²₁ - ²
60°
・X
|基本101
00nti = 00n-Ontin
= 2mm-₂²
apa
◆円O ²² と OX との接点
をHとすると, △OTOH
は3辺が 21:√3の
比の直角三角形。 これ
に着目して 1 と
の関係を調べる。
30°
60°1
