Question

あ

この問題の図示が難しくて出来ません
分数の三次関数のグラフの書き方を教えてください！
お願いします！！

3次曲線と接線
99
とができるような, a, bの条件を求め, 点 (a, b) の存在する領域を図示せよ。
点(1,0)を通って, 曲線 y=x²+ax²+bxに異なる3本の接線をひくこ
精講
曲線 y=f(x)の接線の方程式は,
接点(t, f(t)) により決まります.
このときの接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
であり,これが点(α, b) を通ることから,t の方
程式
b=f'(t)(a-t)+f(t) ......(*)
を得ることができます. この方程式をみたす tを
求めれば,その点における接線が1本ひけること
になります。 すると, 3次関数のグラフでは接点
が異なれば接線も異なるので,
接線の本数=接点の個数
=方程式(*)の実数解の個数
ということになります。
解答>
解法のプロセス
接線の方程式
y=f'(t)(x−t)+ƒ(t)
y=x³+ax²+bx
y'=3x²+2ax+b
曲線上の点(t,t+at+bt) における接線の方程
式は
f(t)=2t³—(3—a)t²—2at—b
とおく. 3次関数のグラフでは接点が異なれば接線
も異なるので
点 (1, 0) を通る接線が3本ひける
⇔f(t)=0 が異なる3つの実数解をもつ
↓点(1,0)を通る
0=f'(t)(1-t)+f(t)
↓
(*)
方程式(*)が異なる3つの実数
解をもつ
y=(3t²+2at+b)(x−t)+t³+at²+bt
:: y=(3t²+2at+b)x-2t³-at²
これが点 (10) を通るのは
0=-2t°+(3-a)t2+2a+bを通って接線をいく
to your it
のときである.
方
接線が3本存在する
225
yi
f
y=f(t)₁
KHUT

226 第6章 微分法とその応用
⇔ f(t) が極値をもち, (極大値)(極小値) < 0
であり,(*)が成立するためのa,bの条件を求める.
f'(t)=6t²-2(3-a)t-2a
=2(t-1)(3t+α)
であるから
(*)
⇒f(1)√(-1)<0 となる.
3
a³, a²
3
・+
27 3
-
:: (a+b+1)(
-6) <0 (())
3
:: (b+a+1)(b_²_²)<0
27 3
(0)1
& 128K
これを図示すると右図の斜線部分となる. ただし,
境界は含まない。 なお, 直線 6=-α-1 は曲線と
点 (-3, 2) で接している.
接線が1本ひける
12
接線が2本ひける
KOMO
接線1本のPの領域 接線2本のPの領域
ƒ(1)/(-) <0
N
DPH
(1) 3
値をもつ
1-1 であり、f(x)は
研究定点Pからひける3次曲線の接線の本数は1本、2本、3本の3種
類がある.このときのPの領域を図示すると下のようになる
_b=-a-16
-6 -3
<0ならば
+
co/en
1054-12
接線が3本ひける
/P
接線3本のPの領域
凹凸の変わり目のところであり, f"(x) の符号が変わるところである。
上の図の中に現れる直線は変曲点を通る接線である. 変曲点とは, 曲線の