Question

icekuu

(２)の問題です。B≠Dで仮定することはわかったんですけど、水色のところはどうやってたどり着くのでしょうか…💦教えてください(；＿；)

20 以下の問いに答えよ。
成り立つ
(1) √3 は無理数であることを証明せよ。
(2) 有理数a,b,c,dに対して, a+b√3=c+d√3 ならば, a = c かつ b=d であること
を示せ。
(3) (a+√3) (6+2√3) = 9+5√3 を満たす有理数 α, bを求めよ。
①が有理数であると仮定すると、
互いに素である2つの自然数a,bを用いて
13 = q と表せるので、
( 18 鳥取大)
a=13b
a² = 36² - 0
よってa²は3の数るので、も複数であるから、ある自然数Cを用いて
M=3C-② と表せる
②を①に代入すると
34C2=362
b2=302
よって、12は3の倍数なので、bもうの倍数であるから、aとbはともに
3の倍数で公約数3をもつ。これは aとbが互いに素であることに
矛盾するので
Vは無理数。
(2)(b-d)J3=c-a

(2) 有理数 α, b, c d に対して
a+b√3=c+d√3
(3)
このとき, b=d であると仮定する。
③より (b-d)√3=c-a
b=d より, b-d ≠ 0 であるから
√√3 = c-a
b-d
c-a
は有理数であるので,3 が無理数であることに矛盾する。
b-d
よって, b=d である。
このとき ③より
以上により, α = c
α = c
かつ b=d である。
(証明終わり)

Answer 1

moonz

水色前の式の両辺をb-dで割って導いてます。
割るためにb-d≠0を示してますね

icekuu

➗ことは分かりました！ありがとうございます🙇🏻‍♀️ でもなんで割るんですか❓

moonz

(1)で√3は無理数であることを証明しているので、
√3=の形にしたいから、と考えるのがいいように思います。
たしかに割る前の式でも　有理数√3=有理数
なので矛盾とは言える気もしますが！

moonz

有理数✖️√3が無理数と証明できてないからって感じですかね

icekuu

なるほど…証明難しいです…。

icekuu

左を√3⃣だけにした方が楽だからですか？

moonz

難しいと思います。
結構数こなすことは重要だと思います

moonz

いえ、√3は(1)の証明で無理数と証明されてます。
これを使いたいのです。
b≠dと仮定しているが、過程の中でこれに矛盾があることを出したいです。
今回だと無理数🟰有利数となって矛盾と言えます。
√3は無理数だから片方は√3だけにしたいってことだと思います

icekuu

すいません。なんかこの問題が何を答えろって言ってるのか分からなくなりました。B🟰D、A🟰Ｃ。この2つは何を表してるんですか？どの部分の命題を否定するんですか？教えてください🙏

moonz

ある条件でa＝cでかつb＝dであることを示せ、と問題で言われてます。(かつ、なのでどっちも必要)

今回は条件が大きく2つ
①a,b,c,dは有利数
②a+b√3=c+d√3
という状態です。

そこで背理法を使ってます。
b=dであることを示すのに、b≠dと仮定して、矛盾があればb=dと言いたいのがやりたいことですね

icekuu

分かりました❗️分かりました！やっと理解出来ました‼️ホントにありがとうございます😭😭めっちゃ質問したのに、返してくれてありがとうございました✨✨

moonz

とんでもないです！良かったです！