Question

ぴい

数Ⅲ 陰関数の微分の問題です。
次のようにパラメータ表示された曲線について、dx/dyとd^2y/dx^2をパラメータの式で表せ、という問いです。解き方がわからないので教えていただきたいです🙇‍♂️
　

(3) x =
e" +e"
2
y
e" - e-u
2

微分 陰関数

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

えだまめ🫛

dy/dx = dy/du ÷ dx/du なので

まずdy/du と dx/du を求めます

dy/du = (eᵘ+e⁻ᵘ)/2 = x

dx/du = (eᵘ-e⁻ᵘ)/2 = y

よって
dy/dx = x/y = (eᵘ+e⁻ᵘ)/(eᵘ-e⁻ᵘ) 🫛

また
d²x/du² = dy/du = x = (eᵘ+e⁻ᵘ)/2

d²y/du² = dx/du = y = (eᵘ-e⁻ᵘ)/2

よって
d²y/dx² = y/x = (eᵘ-e⁻ᵘ)/(eᵘ+e⁻ᵘ)

ぴい

黄色マーカーの部分がなぜそうなるのかわかりません。あと、青マーカーの部分は直前の2つの黄色マーカーの部分からいえることだと思うのですが、なぜd²y/d²xではなくd²y/dx²となるのかわかりません。すごく初歩的なことを質問してしまっているのかもしれないのですが、教えていただきたいです🙇‍♂️

えだまめ🫛

まず
eᵘ をu で微分すると eᵘ になります
e⁻ᵘをu で微分すると-e⁻ᵘになります
eᵘ+e⁻ᵘをuで微分するとeᵘ-e⁻ᵘになります
eᵘ-e⁻ᵘをuで微分するとeᵘ+e⁻ᵘになります

ここで
x = (eᵘ+e⁻ᵘ)/2 , y = (eᵘ-e⁻ᵘ)/2
であるから

xをuで微分すると(eᵘ-e⁻ᵘ)/2となります
また(eᵘ-e⁻ᵘ)/2はyです
なので
dx/du = (eᵘ-e⁻ᵘ)/2 = y

yをuで微分すると(eᵘ+e⁻ᵘ)/2となります
また(eᵘ+e⁻ᵘ)/2はxです
なので
dy/du = (eᵘ+e⁻ᵘ)/2 = x

dy/dx = dy/du ÷ dx/du = x/y = (eᵘ+e⁻ᵘ)/(eᵘ-e⁻ᵘ)

ここまではわかりますか？

ぴい

返信遅くなりすみません。ここまではわかります！