Question

おさる

三元二次連立方程式です。
解き方を教えて欲しいです。よろしくお願いします！

直角三角形の周の長さが30cm, 面積が30cm²であるという. この直角三角形
の3辺の長さを求めよ.
解く前に 対称式.斜辺をx, その他の辺をx,yとおいて, 三平方の定理
を用いてみよ.

連立方程式の応用

Answer 1

えだまめ🫛

三平方の定理より
x² + y² = z² …①

周の長さが30
x + y + z = 30 …②

面積が30
xy/2 = 30 …③

②より
x + y = 30 - z …④

③×4より　2xy = 120 …⑤

①+④より
x² + 2xy + y² = z² + 120
⇒ (x + y)² = z² + 120 …⑥

④を⑥に代入
(30 - z)² = z² + 120
⇒ 900 - 60z + z² = z² + 120
⇒ 900 - 60z = 120
⇒ -60z = 120 - 900
⇒ -60z = -780
⇒ z = 13

④より
x + y = 30 - 13 = 17
⇒ x = 17 - y …⑦

⑦を⑤に代入
2(17 - y)y = 120
⇒ (17 -y)y = 60
⇒ 17y - y² = 60
⇒ y² -17y + 60 = 0
⇒ (y-12)(y-5) = 0
⇒ y = 5 , 12

⑦より
y = 5 のとき　x = 17 - 5 = 12
y = 12のとき　x = 17 - 12 = 5

よって
三角形の3辺の長さは、5cm,12cm,13cm

おさる

教えていただきありがとうございます！
理解できました！