Question

ゆゆ

中段よりちょい上くらいのところです。
なぜいきなりax^2+bx+cを(x+1)^2で割っているのですか？p(x)の整式ってわかってませんよね

二余りは
ごあるか
)(x-1)
となる
1を
余りは
~ある。
1 を代
例題 40 剰余の定理の応用
→例題39
整式 P(x) を x-2で割ると18余り, (x+1) で割ると -x+2余る。
このとき,P(x) を (x-2)(x+1) で割ったときの余りを求めよ。
Action 整式を整式で割った余りは、剰余の関係式 A = BQ+ R を利用せよ
......
解法の手順･･・ ・1商をQ(x), 余りを ax²+bx+cとおき, 剰余の関係式をたてる。
2剰余の定理を用いて a, b,cの式をつくる。
3 | ax²+bx+c を(x+1)2で割ったときの余りを求める。
解答
P(x) を (x-2)(x+1) で割ったときの商をQ(x) 余りを
ax2+bx+c とおくと
P(x)=(x-2)(x+1)^Q(x)+ax+bx+c
P(x) をx-2で割ると18余るから, P(2) 18 より
4a+2b+c = 18
..2.
次に, ax+bx+cを(x+1) で割ると, 商が α 余りが
(b-2a)x+(c-α) となることから
ax²+bx+c = a(x + 1)² + (b-2a)x+(c-a)
=
③① に代入すると
(8+
P(x) = (x-2)(x + 1)² Q(x) + a(x+1)²+(b-2a) x + (c-a)
= (x + 1)²{(x-2)Q(x) + a}+(b-2a)x+(c-a)=
よって, P(x) を (x+1)^ で割ったときの余りも
(b-2a)x+(c-a)
これがx+2 となることから, 係数を比較して
b-2a = -1... ④,
c-a=2… ⑤
② ④ ⑤ を連立して解くと
9
したがって 求める余りは
･･・･①
a = 2, b = 3, c = 4
2x2 +3x+4
らえることさす
余りは2次以下の整式で
ある。
a
x2+2x+1 ax2+bx+c
ax2+2ax+a
(b-2a)x+c-a
1.)(I− x)
(b-2a)x+(c-a)=-x+2
1
・高次方程式

剰余の定理

Answer 1

kaoru

余りに関しては、単純にこれでいいかと。もっと楽に導けるはずなんですが。思い出したらコメントします。

Answer 2

ChatGPT (FakeAI)

P(x)=(x-2)(x+1)²Q(x)+ax²+bx+c
P(x)は(x+1)²で割ると余りが-x+2であることから
P(x)=(x-2)(x+1)²Q(x)+ax²+bx+c
=(x-2)(x+1)²Q(x)+a(x+1)²-x+2・・・（＊）
＝(x+1)²{(x-2)Q(x)+a}-x+2
（＊）から
P(x)を(x+1)²で割った余りはax²+bx+cを(x+1)²で割った余りに等しくなります.
P(2)=18を（＊）に代入して
P(2)＝a・3²=18⇔a=2
∴求める余りは
2(x+1)²-x+2=2x²+3x+4

Answer 3

aporon

整式はわかっていませんが、P(x)を（x＋1）²で割ったら余りが-x+1になることはわかっていますね
(x-2)(x+1)²Q(x)の部分については割り切れるので、余りがでるとすればax²+bx+cの部分ですね