Question

あ

この問題で、an＋ 1がan＋2より後ろにあるのですが、どうして後ろに来ているのかぎ分かりません　
教えてください
お願いします！

3項間漸化式の応用
144
放物線y=x2をCとする. C上に相異なる点P(a1,a²), P2 (az, a2²2),
Pn(an, an²),
があって,各n=1,2,… に対し, Pn+2 におけるCの
|接線の傾きがPnとP1 を結ぶ直線の傾きに等しい.
(1) an+2 を an と an+1 の式で表せ.
(2)n=1,2,
ことを示せ .
| (3) a1=a, az= 6 として, an を a と b n を使って表せ.
精講
に対し bn=an+1-an とおく.数列{bn}は等比数列である
(1),(2)の誘導に従って進んでいけば,解法のプロセス
(3) では階差の公式
(1)(接線の傾き)
n-1
an=a₁+Σbk (n≥2)
an+2=
により、一般項an を求めることができます.
問140で触れたように,3項間漸化式は2通
りの等比数列に変形することができます.この手
の解法も考えられます (- 研究参照).
k=1
2
(2) (1) の両辺から an +1
an+2an+1 =
(1) C:y=x^2 よりy'=2x
P+2(an+2, an+22) におけるCの接線の傾きがPn (an, an²) と
Pn+1 (an+1, an+12) を結ぶ直線の傾きに等しいから
y4
an+12-an2
2an+2=
..2an+2=an+1+an
an+1-an
Jan+1+an
をひくと
解答
an+1+an
2
an+1=
1-(an+1-an)
よって, bn=an+1- an とおくと, 数列{bn} は公比
-
(3)数列{bn} は初項b1=a2-a=b-a,公比
bn=an+1—an=(b—a)(−¹)″-¹
(2) 等比数列に変形
↓
(3) 一般項を求める
323
(直線PmPn+1の傾き)
↓
3項間漸化式
2
( 広島県立大 )
2
P+12
AP+2
PL
O an an+2 an+1 X
の等比数列である.
TUE
の等比数列であるから

n≧2のとき.
An=
n-1
an=a + Σ(b-a)
+ Σ(b-a) (-²)^"¯ =a+(b-a)-
2
k=1
k-1
1 + ²/²(b − a){(1-( - 2 ) " ¹) = a + 2b_²3² (b-a) (-1)-²
3
この結果は n=1のときも成り立つ。
a+2b 2
-²-(6-a) (-1)²-¹
3
3
2
PRO
研究 (1) の漸化式は
t+1
t² == より (2t+1)(t-1)=0 :: t = -1
2
を用いると,次の2通りに変形される.
:. An
1
1
¹-(-2)**
1-(---)
a+2b
3
an+2-an+1 = (an+1=an), an+2+an+ 1 = an+1+ 1
2 an
2
3
n-1
2
数列{an+1-an), {an+1+1/2/an}はそれぞれ公比1/12 1の等比数列であり
9
9
1 \n-1
an+s—an= (b-a) (-2)^²¹, an+1+2 a₁ = (b + / a). 1² ² = 6 + 1 a
An
1"-
2a
2式の差をとり
3
-1
- ²2an = (b-a) (-1) ²-²
2
-6-2
(b-a) (-212) ²-¹
1

Answer 1

Rei

図より明らかですね