Question

たたた

「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」
という積分の面積を求める典型問題がありますが、
参考書の解説では、f(x)とg(x)のグラフの概形をもとに、∫(上のグラフ)-(下のグラフ)dx 上端、下端はグラフの交点という式を立てていますが、わざわざ上のグラフと下のグラフという位置関係を調べなくても
|f(x)-g(x)|と絶対値をつけて積分をすれば良いと思うのですが、なぜ参考書や教科書では逐一グラフの上下を調べているのですか？

Answer 1

まる

絶対値をつけても外さないといけないからではないでしょうか。

まる

以下長々と妄想ですが

よく教科書に載っている公式に以下のようなものがあります。

a<=x<=bにおいて、常にf(x)>=g(x)であるとき2曲線y=f(x)とy=g(x)と2直線x=a,x=bで囲まれる図形の面積は

S=∫[a→b]{f(x)-g(x)}dx

これを絶対値を使って書いてみると
2曲線y=f(x)とy=g(x)と2直線x=a,x=b(a<=b)で囲まれる図形の面積は、

S=∫[a→b]|f(x)-g(x)|dx…①

と書けそうですね。

しかし、仮にa<x<bでf(x)とg(x)が交点をもつとすると、二つの領域ができます。片方はx=aと2曲線で囲まれた図形で、もう片方はx=bと2曲線で囲まれた図形です。するとこれは2曲線と2直線x=a,x=bで囲まれた図形の面積を表す公式として不十分だと思います。
よって①には、a<x<bで、常にf(x)>g(x)または常にg(x)>f(x)という条件を付け加える必要がありそうです。すると絶対値がいらなくなってしまいますが笑

しかし、
教科書の公式は、常にf(x)>=g(x)とのことなのですが、f(x)とg(x)がa<x<bで交点をもつことは許されているようです。すると2つの領域に分割でき囲まれた図形というのかという疑問をまた抱くのですが別にいいのでしょうか？これがいいなら別に①でもいいような気がします。　　

あまり質問に沿っくて申し訳ないです。
最後に質問に関して一つだけ気になる点があるのですが、”なぜ逐一上下を調べるのか”と訊かれているとおもいますが、絶対値を使った式でも上下(大小)の情報は必要になるのではないでしょうか？
それとも上下の情報を使わずに積分できるのですか？

結論としては、私には分かりません笑笑