本
12 等比中項
00000
実数a, b, cはこの順で等比数列になり, c, a,bの順で等差数列になる。
C
この積が27であるとき、
a, b, c の値を求めよ。
等比数列をなす3つの数の表し方には,次の3通りがある。
1 初項 α, 公比として a, ar, are と表す
[類 成蹊大 〕
p.427 基本事項 基本4
(公比形)
②] 中央の項α, 公比rとしてar', a, ar と表す (対称形)
3 数列 a,b,cが等比数列⇔ b=ac を利用
(平均形)
等差数列をなす3つの数の表し方は,次の3通り (p.419 参照)。
① 公差形 a, a+d, a+2d と表す
② 対称形 a-d, a, a+d と表す
③] 平均形 26=a+c を利用
数列 a, b, c が等比数列をなすから b2=ac
429
1
章
②
等比数列
・ズ
b=-27
実数であるから
b=-3
これを①,② に代入して
これらからcを消去して
左辺を因数分解して
ac=9.2a=c-3
2a2+3a-9=0
(a+3)(2a-3)=0
①
<3 平均形 b=ac を利用。
C.
a b c の積が-27であるから
①③ に代入して
数列 c, a, b が等差数列をなすから 2a=c+b
2
abc=-27 ... ③
αはc, bの等差中項。
463=(-3)3
実数じゃない
ときは?
c2a+3 を ac=9 に代入。
3
これを解いて
a=-3,
ac=9に代入して
2
α=-3のときc=-3
3
よって
(a, b, c) = (-3, -3, -3),
a=1/2 のとき c=6
別解 数列 α, b,cが等比数列をなすから,公比をと公比形 a, ar, ar" と
-3.
2
すると b=ar,c=ar2
a,b,cの積が27であるから
abc=-27
よって a・arar2=-27 すなわち (ar)=-27
ゆえに
ar=-3
b=ar=-3であるから
ac=9
①
また、数列 c, a, b が等差数列をなすから
表す。
公差0
VATE 1
検討
2 対称形を用いる。
la=br-c=br とすると
by '.b·br=-27
2a=c+b
よって
2a=c-3
②
①,② から, c を消去して
2a2+3a-9=0
よって 6=-27
ゆえに b=-3
以下,上の解答と同様に計算する。
わかりました！②の式をＣ＝にして①に代入してたんですね
他の質問も答えてくれてありがとうございました！