Question

てぃあ

授業で聞いても理解できませんでした。丁寧目に教えてください。お願いします。

68 自然数の列を、次のような群に分ける。 ただし, 第n群には 27-1 個の数が入
るものとする。
教p.33 応用例題 5
1 2,3
第1群 第2群
4, 5, 6, 7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16.
第3群
第4群
(1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。
(2) 第n群に入るすべての数の和Sを求めよ。

数列 群数列 いろいろな数列の和

Answer 1

ゆい

⑴
第1群から第n-1群までの各群に入る数の個数の和は、
Sn＝2⁰＋2¹＋2²＋…＋2ⁿ⁻²
これは、等比数列の和で、初項1、公比2、の等比数列なので、
1×(2ⁿ⁻¹－1)/(2－1)＝2ⁿ⁻¹－1
よって、第n－1群の最後の数は、2ⁿ⁻¹－1なので、
第n群の最初の数は、2ⁿ⁻¹

⑵第n群は、初項2ⁿ⁻¹、公差1、項数2ⁿ⁻¹の等差数列なので、その和は、
S＝2ⁿ⁻¹＋(2ⁿ⁻¹＋1)＋(2ⁿ⁻¹＋2)＋…＋(2ⁿ⁻¹＋2ⁿ⁻¹－1)
＝2ⁿ⁻¹×2ⁿ⁻¹＋(1＋2＋3＋…＋2ⁿ⁻¹－1)
＝(2ⁿ⁻¹)²＋1/2×(2ⁿ⁻¹－1)(2ⁿ⁻¹)
＝(2ⁿ⁻¹)²＋(2ⁿ⁻¹)²/2－2ⁿ⁻¹/2
＝3・(2ⁿ⁻¹)²/2－2ⁿ⁻¹/2
＝2ⁿ⁻²(3・2ⁿ⁻¹－1)