Question

Golden Temple

　Σ「k=1〜n」(k+1)•2^k

＝　Σ「k=1〜n」(k+1) × Σ「k=1〜n」2^k

という等式は合っていますか？教えていただきたいです。

数列

Answer 1

ゲスト^ - ^

合っていませんね…
略記しないで書くと
2・2¹＋3・2²＋4・2³＋…＋(n＋1)2ⁿ
なので
これは(2＋3＋4＋…＋n＋1)(2¹＋2²＋…2ⁿ)と等しいとは限りません。例えばn＝2を代入すると
2＋2¹＋3・2²≠(2＋3)(2¹＋2²)です。
定数cについてΣ［k＝1〜n］cf(k)＝cΣ［k＝1〜n］は成り立ちます。
これはΣ［k＝1〜n］cf(k)＝cf(1)＋cf(2)＋…＋cf(n)＝c(f(1)＋f(2)＋…＋f(n))
＝cΣ［k＝1〜n］f(k)とcが固定されてるから全体として括れるからですね。cがkによって値が変わると括ることは出来ないので成り立ちません。
ちなみにですが求める方法としては
S＝2・2¹＋3・2²＋4・2³…＋(n＋1)2ⁿとおくと，
2S＝　　　2・2²＋3・2³＋…＋n2ⁿ＋(n＋1)2ⁿ2¹
(n＋1乗だけ打てなかったので分けましたw)となります。
2SからSを引く(下から上を引く)といい事があるかも?