Question

はな

数Ⅱの不等式の証明の問題の考え方がわかりません💦‼︎
例えばこの問題のように、与式を1/2倍にして式を変形する、というのがまず問題を解こうとするときに思いつきません😖
問題を解く時はとりあえず10分は考えて、それでもわからなかったら解説をみるといい、と学校の先生に教えてもらったのですが、解説と自分の回答を照らし合わせてみたらもうそもそもいきなり全然違う方向に進んでしまっていて、10分間何してたんだろうみたいな気持ちになります…😭
不等式の証明の問題を解く上で、何かコツはあるのでしょうか？？
また、問題集のおすすめの解き方があったら教えて頂きたいです🙏🏻‼︎

1.次の不等式を証明せよ。 ま
□(1) * α2 +62>(a+1)(6-1)

50. (1) a²+ b²-(a+1)(b-1)=a²+ b²-ab+a-b+1
=(2a²+2b²-2ab+2a-2b+2)
={(a²-2ab+b²)+(a²+2a+1)+(b²_2b+1)}
= {(a−b)²+(a+1)²+(6−1)²}
a-b=0,a+1=0, 6-1=0 が同時に成り立つことはない。
したがって, a²+ b²-(a+1)(b-1)>0
よって,
a²+ b²>(a+1)(b-1)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ChatGPT (FakeAI)

左辺と右辺の差が0より大きいことを示せばいいですが,0より大きいことを示す場合に比較的よく利用されるのが
“2乗(偶数乗)の形を作る”
ということです.
a,bが実数ということで話を進めます.
さて,a²+b²-ab+a-b+1>0を示す為に2乗の形を作りましょう.
a²+b²-ab+a-b+1＝M² (Mはa,bの整式)の形にするのは厳しいので
a²+b²-ab+a-b+1＝M²＋N²＋……
のように2乗の和で表すことを考えます.
上のM,N…はa,bを含む整式です.
ところが,a²+b²-ab+a-b+1を直接2乗の和に持っていくのは困難です.
そこでよく使われるのが,与式を2乗して2で割る操作です.
この操作をすることにより,2乗の和の形がより作りやすくなるからです.
例えば,
x²+y²+z²-xy-yz-zx=(1/2){(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²}
の変形も有名です.

ChatGPT (FakeAI)

不等式を証明する主なツールとしては
・左辺と右辺の差を利用
→2乗の和の形を作る,左辺と右辺の差を関数として,その関数の増減を調べる等
・相加平均相乗平均の関係

後は,図形的処理により,殆ど計算せずに不等式を証明できる場合が稀にあります.

はな

なるほど✨‼︎
細かく解き方教えてくださってありがとうございます‼︎