Question

ななくさ

EX35の解説をお願いします。

252 数学A
A={3, 6, 9, 12, 15, 18}
B={1, 4,7,10, 13, 16, 19}
C={2, 5, 8, 11, 14, 17, 20}
2枚のカードの整数の和が3の倍数になるのは,
[1] A から2枚取り出す
[2] B, C からそれぞれ1枚取り出す
のいずれかであり, それぞれの場合の数は
6.5
[1] 6C2=- -=15(通り)
2･1
EX
035
[2] ,CX,C1=7×7=49 (通り)
よって, 求める確率は
(2) 1から20までの和
32
=
15 +49 64
190 190 95
1+2+3+ +20=210
は3の倍数である。
よって, 17枚のカードの整数の和が3の倍数になるのは,取
り出さない残りの3枚のカードの整数の和が3の倍数になる
ときである。
残す3枚のカードの取り出し方は
[1] A から3枚取り出す
[2] A, B, C からそれぞれ1枚取り出す
[3] B から3枚取り出す
[4] Cから3枚取り出す
のいずれかであり, それぞれの場合の数は
6.5.4
3･2･1
[1] 6C3 = - =20(通り)
[4] 7C3=35 (通り)
また, 3枚残す場合の数は
よって, 求める確率は
[2] 6C1×7C1×7Ci = 6×7×7=294 (通り)
7-6-5
3.2.1
[3] 7C3 = - = 35 (通り)
20 +294 +35+35.
·· 20C3
20 C3通り
384
384
20･19・18 20･19・3
3･2･1
64 32
19.10 95*
A, B, Cはそれぞれ
3で割った余りが 01,
2のグループ。
62通り
em, nを整数とすると,
B, Cの要素はそれぞれ
3m +1,3n+2の形で表
される。これらの和は
(3m+1)+(3n+2)
=3(m+n+1)
であり, 3の倍数となる。
取り出す 17枚につい
て考えるのは大変なので、
残りの3枚のカードにつ
いて考える。
2個のさいころを同時に投げて、 出る2つの目の数のうち, 小さい方 (両者が等しいときはその
数) を X, 大きい方 (両者が等しいときはその数) をYとする。 定数αが1から6
数とするとき、次のようになる確率を求めよ。
までのある整
[ 関西大
(1) X>a
(2) X Sa
(3) X=a
2個のさいころを同時に投げるとき, 目の出方は
17枚取り出す場合の
数 2017 通りと同じ。
(4) Y=a
1
(1) X>α となる場合は, X≧a+1 であるから、その場合の
数は 1≦a≦5 として, a+1, a+2,
, 5, 6 の異なる
6-(a+1)+1=6-α (個)の中から重複を許して2個取り出
す順列の数で
( 6-α) 通り
これは,α=6のときも成り立つ。
よって, 求める確率は
(6-a)²(6-a)²
-
62
36
(2) (1) の余事象の確率であるから
1-
(6-a)²36-(36-12a+a²)
36
36
a-(a-1)
3
36
3
(a-1)²1
36
第2章 確率
a²-(a−1)²
36
a
a²
336
(3) 2≦a≦6 のとき, X ≦a-1 となる確率は, (2) の確率にお 別解 (3) 一方が他
いて, a に a-1 を代入すると得られる。
方が α+1, a+2, ......,
5,6のとき
X=α となる確率は, X≦αとなる確率から X≦a-1 と、
なる確率を引いて
a²-(a-1)² a 1
36
18 36
(1) 小さい方の数が
(a+1) 以上になる確率。
<X>6 となる場合はな
い すなわち0通り。
← 「小さい方の数がαよ
り大きい」 という事象の
余事象である。
253
(6-a)×2! i
2つともαのとき1通り
よって
(6-a)x2!+1
36
a
13
36
1/1/201
2a-1 13 a
11
36 36 18
α=1のとき,すなわち X=1 となる確率は, 少なくとも1
個は1の目が出る確率で
1.
52 11
6236
したがって, ① は α=1のときも成り立つから, X = a
(1≦a≦6) となる確率は
13a
36 18
方が 1 2, a-1
(4) Y=α となる場合の数は, Y≦α の場合の数から Y≦a-1 (4) 一方がα,他
の場合の数を引いたものである。
Y≦a となる場合の数は, 1,2,.., a-1, α のα個の中
から重複を許して2個を取り出す順列の数で α2 通り
のとき (a-1)×2!通り
2つともαのとき1通り
よって
2≦a≦6 のとき, Y≦a-1 となる場合の数は, 1, 2,
a-2, a-1 の中から重複を許して2個を取り出す順列の数
で
(a-1)2 通り
よって, Y=a となる場合の数は
²-(a-1)2 (通り)
a=1 のとき, Y = 1 となるのは1通りであり, このときも2個の目の数がともに
成り立つ。
1のとき。
ゆえに, 求める確率は
2個とも2以上の目が
(a-1)×2!+1
36
18 36
2章
EX

Answer 1

たぬきち

(1)a<X
aより小さい値が出ると条件を満たせないので、
2つのサイコロがa+1〜6の値を取れば条件を満たします。
ここで、サイコロは6までしか目がないので、a=6の時は条件を満たすのが不可能になります。
ここに注目して場合分けをしてあげましょう。
(i)a=6のとき 確率は0
(ii)a≦5のとき
各サイコロの出目がa+1〜6に収まれば良いので
各サイコロの出方は6-(a+1)+1=6-a通りです。
２つのサイコロが6-a通りずつの出方を持つので、
全部で(6-a)²通りの出方があります。
したがって、確率は(6-a)²/36

a=6のとき(6-a)²/36=0となるので、
(i)(ii)を合わせて (6-a)²/36となります。

(2) これは(1)の余事象にあたるので

1 - (6-a)²/36となります。

(3) X=a
aとa以上の目が出れば良いわけです。
1個のサイコロを振ったとき、
aの目が出るのは1通り
a以上の目が出るのは6-a+1=7-a通り
なので、
1×(7-a)通りの出目の組が考えられます。

分母を36通り(順列)で考えるのであれば、(a,6)と(6,a)を別々に数えるため1×(7-a)×2通りとしたいところですが、(a,a)という出目が厄介なので、もう少し細かく考えてみましょう。

a以上の出目をbと略記します。

(i)a=bのとき
出目はaが2つなので1通りだけ存在します。

(ii)a≠bのとき
(a,b)という出目の組に対して、サイコロの出方が
(a,b)と(b,a)の2通り存在するので、
7-a通りのうち(i)の1通りを除いた6-a通りの出目の組には(6-a)×2=12-2a通りの出方が存在します。

(i)(ii)から1+12-2a=13-2a通りの出方が存在するので
(13-2a)/36となります。

(4) Y=a
aとa以下の目が出れば良いわけです。
サイコロを1個振ったとき
aが出るのが1通り
a以下の目が出るのはa通り
なので1×a通りの出目の組が考えられます。

ここでも(3)同様に場合分けをします。
a以下の目をcと略記します。

(i)a=cのとき
出目はaが２つなので1通りだけ存在します。

(ii)a≠cのとき
(i)の1通りを除くa-1通りの出目(a,c)の組に対して
出方は(a,c)と(c,a)が考えられるので
(a-1)×2=2a-2通りの出方が存在します。

(i)(ii)を合わせて1+2a-2=2a-1通りの出方が存在するので

(2a-1)/36となります。