Question

チョコ

ベクトルです。（2）、（3）が分かりません。教えて下さいm(_ _)m

ベクトル (40点)
直方体 OADB-CEFG があり, OAOB=1,OC=2, 辺
EF の中点をMとする。また, OA=4,OB=6,OC=c と G
する。
(1) OM を 6℃ を用いて表せ。 また、内積の値を求
めよ。
(2) 平面ABC上に点Pをとり, AP=sAB+tAC (s,tは実
数)とする。このとき, OP を s, l, a,b,c を用いて表せ。
B
また、点Pが線分OM 上にあるとき, s, tの値をそれぞれ求めよ。
(3) (2) の点Pが分 OM 上にあるとき, 頂点Bから線分PDに垂線を引き交点をHとする。
OH をa,b,c を用いて表せ。
F
D
a
E

ベクトル 数b 直方体 中点 垂線

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

夏音さん

2)AP＝OP−OA＝OP−a　
AB＝OB−OA＝b−a
AC＝OC−OA＝c−a
上式をsAP＝sAB+tACに代入して
OP−a＝s(b−a)+t(c−a)
⇄OP＝(1−s−t)a+sb+tc‥①
OPがOM上にあることからOP＝k×OM
ここでOM＝a+b/2+cを代入して
　OP＝ka+kb/2+kc‥②
①＝②より
(1−s−t)a+sb+tc＝ka+kb/2+kc
恒等式から1−s−t＝k　s＝k/2 t＝kより
k＝2/5
s＝1/5
t＝2/5

(3) (2)よりOP＝(2/5)OM＝(2/5)(a+b/2+c)
　問題文から PD⊥BHと分かる
つまりPD・BH＝0‥③を解けばいい
また分かりやすくするために平面△BPDで考える
点Hは線分PD上にあるので
仮に線分PDをh:1−hで内分したと考える。すると
BH＝(h)BD+(1−h)BP
＝(h)(OD−b)+(1−h)(OP−b)
＝(h)(a+b−b)+(1−h)((2/5)OM−b)
＝(h)a+(1−h)((2/5)(a+b/2+c)−b)
　 ＝(1/5){(2+3h)a−4(1−h)b+2(1−h)c}
PD＝OD−OP
＝(a+b)−(2/5)(a+b/2+c)　
＝(3/5)a+(4/5)b−(2/5)c
＝(1/5)(3a+4b−2c)
これらを③に代入して
(1/5){(2+3h)a−4(1−h)b+2(1−h)c}・(1/5)(3a+4b−2c)＝0
ここでa・b＝b・c＝ c・a＝0より|　|²の項だけ出すと効率よく計算できる
3(2+3h)|a|²−16(1−h)|b|²−4(1−h)|c|²＝0
計算するとh＝26/41
よってOH＝OB+BH
＝b+(1/5){(2+3h)a−4(1−h)b+2(1−h)c}
　　　　 ＝(1/5){(2+3h)a+(1+4h)b+2(1−h)c}
最後にhを代入して答えをだします！
計算が長いので計算間違いをしていたらすみません🙏
計算方法としてはこの通りとなります
少し難しめの問題ですね。定期テストででたら大変そう…

チョコ

ありがとうございました!!!!計算過程がとても分かりやすかったです✨