Question

藍

高校生、数IIの第1章「式と証明」二項定理の範囲です。
大問15番がわかりません。
写真1枚目が問題、2、3枚目が解答•解説です。
教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

✓ 15 二項定理を用いて,次のことを証明せよ。 ただし, nは3以上の整数とする。
(1)(1+1)'>2
(2) x>0 のとき (1+x)" > 1+nx +
n(n-1)
2
れる

15
■指針
二項定理の展開式の一部に着目することによ
って、不等式を導く。
等式 P = Q+R (R>0) に対して,不等式
P>Qが成り立つ。
二項定理により
(a+b)"=nCoa"+"Can-16+nCzan-262
+......+nCnbn
(1) ① でa=1,b=1 とすると
n
n
( ¹ + 1 - ) ² = . C ₁ + . C ₁ = 2 + . C / / /
1)²
2
n
n
n
よって
n
"C, 0, 1>0であるから,n≧3のとき
n
n
1
1
C2
n
+......+nCn
デブ
C++..>0
+:
+nCn
2
n
>O
n'
(1 + 1) * > . Co + . C₁ /
n
(1+1/2)
すなわち
したがって
n
(1+1-12 ) 2
" >
(2) ① でa=1, b = x とすると
> n.
1+1/2
n
①
81

(1+x)"="Co+mCix+2x2+7C3x3
+ ...... + nС₂x"
„C, >0, x>0であるから, n ≧3のとき
〃C3x3+......+mCx>0
よって
(1+x)*> "Co+C1x+月 C2x2
したがって (1+x)" >1+nx+n(n-1).
x² 2
2