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XX
重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項
00000
列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn} を作るとき, 数列{cm)
数列{an}, {bn}の一般項を an=3n-1,bn=2" とする。 数列{bn}の項のうち、数
の一般項を求めよ。
CO
重要 93. 基本 99
指針▷>2つの等差数列の共通な項の問題 (例題93) と同じように,まず,a=bmとして、1mの
関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。
そこで,数列{an}, {bn}の項を書き出してみると,次のようになる。
(an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,
{bn}: 2,4,8,16,32,
を順に調べ、規則性を
a=by, Ca=bs, Ca=bs となっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{a
の項となるかどうか, bm+z が数列{an}の項となるかどうか、
見つける。
解答
α = 2, b=2であるから
C1=2
数列{an}の第1項が数列{bn} の第 m 項に等しいとすると規測性から
3-1=2m
答えを予想はできたこ
ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3Z-1)・2
......
=3.21-2
よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。
①から bm+2=26m+1=3・4l-4
=3(4-1)-1
ゆえに, bm+2 は数列{an} の項である。
したがって
{C}:b1,63,65,
数列 {cm} は公比22の等比数列で, C1 = 2であるから
Cn=2.(22)"-1=22n-1
20
3･O-1 の形にならない。
22"=4"=1"≡1(mod3)
[2] m=2n-1(nは自然数) とすると
THE JAN
,830 V-b (s)
cn=1412 などと答えてもよ
検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答
3n-1=-1≡2(mod3) であるから, 2=2 (mod3) となるm について考える。
[1] m=2n(nは自然数) とすると
22n-1=22(n-1).2=4”-1.2=1"-1.2=2 (mod3)
[1], [2] より m=2n-1 (nは自然数) のとき 2が数列{cm} の項になるから
Cn=bzn-1=22n-1
重要
初項が
10g103=
C41)
10
△×(2) 初
指針
練習 数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bm=7.27-1 とする。 数列{bn}の項のう
(④4)
9 100 ち, 数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cm} を作るとき, 数列
{C}の一般項を求めよ。
03102
解
(1) 初
103-
s +6
各
ゆ
よ
す
n
