Question

たたた

写真の図は単振動の動きを段階的に表したものです。
(加速度=a、力=kx、ばね定数=k、物体の質量=m、振幅=x、右向きを正。とおいてます)

A…この図の②〜③、④〜⑤(物体が、振動の中心から最大点まで動くとき)の過程において、運動エネルギー？によって加速度aと逆向きに物体は動く(速度がaと逆だ)が、弾性力kxは自然長に戻ろうとするから、中心に向かう加速度aと同じ向きになる。
②~③の時はそれぞれ正の方向にかかっているから、
「ma＝kx」
④〜⑤の時はそれぞれ負の方向にかかっているから
「-ma=-kx∴ma＝kx」

B…①〜②、③〜④(物体が、最大点から振動の中心まで戻るとき)の過程において、
①〜②の時、それぞれ負の方向にかかっているから、
「m(-a)=--kx∴ma =kx」
③〜④の時はそれぞれ正の方向にかかっているので、「ma =kx」

C…③、⑤(物体が、振動の中心)を通る瞬間は加速度a=0だから、m・0=F＝0

ここで質問なのですが、
写真の参考書の、特に赤線部分に従えば、ばね振り子の運動に関して、上のA、Bのように、ma=F=kx(及び、-ma＝-F=-kx)となり、常にma=kxとなるのに、なぜ、ばね振り子の復元力は、F＝ーkxとなるのですか？

m
roo
pomo
幅
m = a
2
"F
a
F
1005²
1°
1
Dom/sz
ON
1
TV 運動の法則
(3
4
運動方程式
質量mの物体に力が働くと、物体には加速度
―この
が生じる。
関係を表す運動方程式m=Fこそ力学の根幹をなすものだ。それは運動
の第2法則 (物体の加速度は力に比例し、質量に反比例する) を式で表してい
る。まずは1つ1つの文字の意味を詳しく確認しておこう。
ma
a=F
注目物体の質量 地面に対する加速度
(kg)
[m/s²)
ちょっと一言 上式から [N] = [kg・m/s ] と分かる。
15
X
注目物体が受けているカ
すべての合力 [N]
注目物体はまわりの物体から力を受け、止まっていたり動いたりする。
だから, 必ず “受けている力”だけを考えることになる。 力はすべて右辺に
集めておく。
dの向きは下の向き, つまり合力の向きに加速度が生じていることにも
注意を払っておこう。 ほとんどの人が上のベクトル式を見ても通り過ぎてし
まっているが, とても大切な点だ。
Miss 運動方向(つまり速度の向き) には力が働いていると思っていないかい?
偉大なアリストテレスでさえ誤ったのだからしようがないが、力は速度の向
きじゃなくて, 加速度の向きと一致しているんだ｡ 直線運動ではわかりにく
いが, 曲線運動, たとえば放物運動になると, その差が明確になる。重力が
鉛直下向きだから,重力加速度gも下向きになっている。 でも速度の向きは
まったく別。
静止の場合は力のつり合い式をつくった。静止は だから運動方程
式より下=① (合力=①) つまり力はつり合っている。 力のつり合いは

単振動

Answer 1

沢木陽織

赤線部の記述は、
「最初に正の向きを決めて、ma=Fという式を作ってね。m>0なんだから、Fとaの符号は一致するよね？ということはつまり、Fとaの向きは一致するよね。」
という、ごく当たり前のことを言っているに過ぎません。
何が言いたいかというと、運動方程式というのは、とにかく定めた軸の向きに従ってma=Fという式を立てて、
「あ、Fがマイナスだからaもマイナスだ！だから加速度は左向きだ」とか、「Fはプラスだからaもプラスで、加速度は右向きだなー」とか
というふうに考えるべきであって、加速度が左向きになりそうだからといってm(-a)などと置いたりするべきでは無いということです。
aの向きは自分で判断しなくても式が判断してくれるわけです。
だから、自分で考えるべきはFの部分のみということになります。ここは、こんなふうに考えましょう。
最初にかかる力の"大きさ"を考えて、それが右向きなら+、左向きなら-してやればいいのです。
まず、バネの弾性力の"大きさ"は|kx|です。
そして、中心より右にいる、つまりx>0のときは、弾性力の向きは左だから、F=-|kx|=-kxとなり、
また、中心より左にいる、つまりx<0のときは、弾性力の向きは右だから、F=+|kx|=-kx(kx<0なので)
となります。
以上から、ma=-kxとなります。
上手くまとまらなくて申し訳ありません、よく分からない部分があれば遠慮なく仰ってください。

たたた

単振動の復元力も加速度も常に同じ方向なら
常にma =Fと同符号の答えになりませんか？

沢木陽織

いえ、そもそも復元力の値が常に「-kx」であって、aの値は常に「-kx」と同符号なのです。
「符号が同じ」という言い方が混乱を招いているのかもしれませんが、ここで言う「符号」というのは表記上の+-の話ではなく、「その文字の値が0より大きいか小さいか」を指しています。
軸の向きに注意して運動方程式を立てればma=-kxとなり、これに従えば-kx<0ならa<0だし、-kx>0ならa>0だよね、というごく当たり前のことを言っているだけです。

沢木陽織

あとは、xにいくつか適当な値を代入してみるとイメージがつくかも知れません。
例えばx=+2mなら、運動方程式に従えば弾性力は-2kで、a=-2k/mとなります。実際、加速度も力も左向きなので少なくとも符号は合ってますよね。

たたた

aの値に+-の向きも含まれてるということですか？

沢木陽織

はい、そういうことになりますね。