Question

さこ

相加平均が相乗平均より大きいという公式についての質問です。

この公式はなぜa、bのどちらか、または両方が0であっても成り立つのにわざわざ条件から a=b=0 を省いているのですか？

これを利用して問題を解いているうちだんだん混乱してきました。

どなたか分かりやすく説明してください🙏

また（相加平均の最小値）が（相乗平均）より小さくなることが絶対にない理由も教えてください！

る。
<a > 0, b>0のとき式
a+b≥2√ab
等号はa=bのとき成り立
つ。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

おさだ

a,bどちらかでも0になってしまうと
2√(ab)=2√0になってしまうんですけど
√0ってのがやばいんです。
二乗したら0になる数ってのがやばいんですよ
0＾2＝0
両辺0で割るとしたとして、(本来できないです)
0＝1
になっちゃうんですよね
√を扱う上で√の中身が0になるパターンは語ってはダメです。

また、相加相乗ですけど
a+b≧2√(ab)
両辺正の数より2乗した場合
(a+b)^2≧4ab
a^2+2ab+b^2≧4ab
整理して
a^2-2ab+b^2≧0
(a-b)^2≧0
ってことですね

さこ

どちらともよく理解できました！
ありがとうございます🙇‍♂️

Jin

横からの補足、失礼します。

√0=0です。やばいことないです。
相加相乗平均の等号成立条件a=bには当然a=b=0も含まれます。
(a=b=0であることはa=bであることの十分条件ですよね？)
また、aとbのどちらか一方だけが0であるような場合、例えばa=0, b≠0のとき、
a+b>0, √ab=0
となり等号は成立しません。
そもそも不等式の等号成立条件とは、文字通り不等式の等号が成立するような条件であって、上の条件では(左辺)>(右辺)ではありますが(左辺)=(右辺)ではないということです。

な

僕も横から失礼します🙇‍♂️

Jinさんがおっしゃられているように、√0＝0と定義されているので、√0は特に問題ありません。二乗すると0になる数は0ですし。

さらに、相加相乗平均は、a≧0かつb≧0でも成り立ちますがなぜ0が等号に含まれていないかというと、はっきりとはわからないのですが、僕の意見では

「a=x,b=1/xなどと、xが分母、0より大きい数が分子にある際に、1/x≧0としてしまうと、1/xが0になることはなく、都合が悪いから、
もしくは、a=0またはb=0のとき、相加相乗平均が成り立つのは、自明であるから教科書等にはわざわざ書いていないのではないかと思います。」←個人的な意見なので参考程度に…

（相加平均）≧（相乗平均）になる理由は、おさださんの説明がいいと思います。

さこ

気付くのが遅くなってごめんなさい🙇

なるほど。√0でも問題にはならないのですね🧐

確かにa、bのどちらかのみがゼロだった場合、この公式は成立しませんね、、、

またコメントしてくださったとおり、両方ゼロだった場合は公式は成り立つけどわざわざ書く必要がない気がしますね🤔

みなさんのおかげで理解が深まりました！！
お2人ともわざわざコメントしてくださりありがとうございます！

Answer 2

ぺんぎん

＿解き方に主眼を置くから、違和感があるのではないですか？
＿目的を考えると、平均を考えているので、何かの統計を取ろう、としている訳です。
＿各数値に関して、標本は、負の数があるような場合には、今回は使えませんよ、と言うそれだけの話です。そして、標本が全部ゼロなら、そもそも平均とか統計とかを取る必要がない訳ですから。
＿そこは拘らなくてもいいのでは？

さこ

【標本が全部ゼロなら、そもそも平均とか統計とかを取る必要がない】
↑確かにそうですね、、、

コメントありがとうございます。
役に立ちました🙇