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件をみたすように定める.
ある円に内接する二等辺三角形の列 St, S2, S3, .., Sn, ... を次の条
(A) S1は正三角形でない二等辺三角形である.
(B) Snの底辺は Sn-1 (n=2,3,4,･･･) の等辺の1つである.
(C)Sの底辺を円の弦とみたとき, SnとSn-1 (n=2,3,4, …)は弦
の同じ側にある.
このとき,次の問に答えよ.
(1) S の頂角を0とするとき, 0 と On-1 (n=2,3,4,…)との関係を
求めよ.
(2) 頂角0 を 0 を用いて表せ.
(3) n→∞ のとき,この二等辺三角形の列 S, は正三角形に近づくことを示
せ.
10 αを実数とし, x1=2, V1=2,
Xn+1=xn+ayn,
(久留米工業大)
(n=1, 2, 3, ...)
yn+1=2xn+2ayn-2
で定められる数列{x} および {y} に対して,次の問に答えよ。
(1) 数列{x} および{yn}の一般項を求めよ.
(2) 数列 {x} および {y} が収束するようなαの範囲と, そのときのlim xn
およびlimyn を求めよ.
n2-00
n→∞
(広島大)
6
∠ABC=∠ACB=
∠ACB=∠ADB であるから、
0₁-(-0₁-1).
(2) ① を変形して,
On-3 = − 1 2 (0₂-1-3).
0m
これは数列 {0} が公比1/2の等比
数列であることを表している.
よって,
B=1/(7-0₂-1).
(3) (2)より,
0₁-5-(0.- 5)(-1).
0₁=5+(0₁ - 3)(-1).
[解答]
(1)
lim0n=15.
よってn→∞ のとき,S,は頂角が今の
二等辺三角形, つまり正三角形に近づく.
10 考え方
(1)
Vn+1=2(xn+ay) -2
=2x+1-2.
[Xn+1=xn+ayns
lyn+1=2xn+2ay-2.
②より, n=1, 2, 3, ···のとき,
Yn+1=2(xn+ayn)-2
x=x=2より,
=2x+1-2. (①より)
y₁=2x₁-2
であるから,
yn 2xn-2 (n=1, 2, 3, …).
③を①に代入して,
Xn+1=xn+α(2x-2)
= (2a+1)xn-2a.
...2
x-1=(x-1)(2α+1)^-1
=(2a+1)^-1.
.③
Xn+1−1=(2a+1)(x-1).
数列{x-1)は公比 24 +1 の等比数列
であるから,
(x=2より)
よって,
④を③に代入して,
x=(2a+1)^-1 +1.
(2) 収束する条件は,
よって,
極限値は,
ym=2(2a+1)^-1.
(2)
-1<2a+1≦1.
-1 <a≦0.
a=0のとき,
limx=2, limy=2.
72-00
1<a<0のとき,
limx=1, limy = 0.
72-00
72400
11
考え方
(1) 数学的帰納法を用いる.
(2) 1/12 (an-4) (an+1−4)を計算する.
8
(3) an+1-α<r(an-a) (n=1, 2,3,..),
r>0 のとき,
an+1-α<r (a-α)
このとき,
<r²(an-1-α)
解答
(1) 数学的帰納法で示す.
(I) n=1のとき成り立つ.
:
<r" (a₁-a).
(II)n=k(kは自然数) のとき成り立つと
仮定すると,
ak>4.
ak+1-4 = vak+12 -4
ak-4
√ak+12 +4
であるから,n=k+1 のときにも成り立つ。
(I), (II) より示された .
(a₁-4)-(a+1-4)
->0
an-4
√an+12 +4
-(a₂-4)
√an+12-4
8(√α„+12+4)
(an-
8(√an+1
よって,
an+1"
(3) (1),(2) より
0<an+1
よって, n ≧2
0<an-
1
liml
1-008
12
-1
したがって
(a₁
lin
n-
考え方
座標平面上で,
x 座標, y
であるような点
(1) 直線 x=k
これより,
lir
上の格子点のy
y=k²_n,
で,その個数は
0-(k²-n
(2) mm の定義
mn+1は²よ
mm
1
n²
1-
回答ありがとうございます。
範囲の方は分かりました。
数列の方は分かりません。
9で(θ_n-π/3)が公比-1/2になっているのになんで10は(x_n-1)が公比2a+1になるのかが分からないのですが、、9と同じようにするならx_n-1-1が公比2a+1になりませんか？