Question

あ

数Ⅱの問題です。120(1)(2)(3)それぞれ赤線部の根拠が分からないので教えて頂きたいです。

○ 120a > 0, b>0 のとき,次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立教 p.53
つのはどのようなときか。
まとめ 4
4
(1)* a+
≧4
b
(2)
a
+ ≧2
(3) (a + 3b) (-²/2 + ²) ²
3
≧ 12

) = (xy+1)
==y=0
きである。
+2>0
+50
CI
あるから
20
b
すなわち
D
=-3xy)+73¹
7y²
≧0であるか
All
(x − 3/2 y ) ² + 1 — 1 y ² ≥ 0
476506213(x-2) +20
よって
3x2≧9xy-7y2
3
等号が成り立つのは,x-
2y=0b²
y = 0, すなわち x = y=0のとき
である。
4
120 (1) a>0, >0 であるから,
a
相加平均と相乗平均の関係より
4
a+ ≧2. a. =4
が成り立つ。
4
等号が成り立つのは a =
a
すなわち =4のときで, a>0 よ
り α = 2 のときである。
b
>0 であるから,
相加平均と相乗平均の関係より
b
a b
a
+
≧2
=2
b a
b a
が成り立つ。
b
a
等号が成り立つのは
b a
すなわち
= 62 のときで, a>0,
6 > 0 より
α = b のときである。
a
3
(3) (a +36)( ²² + ²) = 6 + ² + 200
96
b
a
a
a
96 >0 であるから、
ここで,y>0,
a
相加平均と相乗平均の関係より
a
96
a 96
=6
= ²√
+
b
a
b
a
が成り立つ。
よって
(a + 3b) ( ²³² + 1/ ) ≥
≥6+6 = 12
が成り立つ。
a
96
等号が成り立つのは
b
a
すなわち = 962 のときで, a>0,
b0 より
α=36 のときである。
II
(3+a)²-(√9+6a)²
=9+6a+α²- (9+6a)
=a² ≥ 0
Ital
したがって (3+α) ≧ (√9+6a)
3+a > 0,√9+6a > 0 であるから
3+a√9+6a
(D. ESI
等号が成り立つのは α = 0 のときで
ある。
(2) 両辺の平方の差を考えると
(2√a +3√6)² − (√4a+9b)²
2-4a+12√ab +96-(4a +96)
88 = 12√ab ≥ 0
したがって
(2√a +3√6)² ≥ (√4a+9b)²
2√a +3√6 ≧0,√4a+96 ≧0である
から
2√a +3√b2 √4a +9b
等号が成り立つのは ab = 0 すなわ
ち α = 0 または6=0 のときである。
ASI
(a +1|+ |a-1)^-|24|2
= |a+1|+2|a+1||a-1|
+ |a-1|-|24|2
_______= (a + 1)² + (a − 1)² − (2a)²
+ 2| (a + 1)(a-1)|
=-2(α²-1)+2α²-1|
= 2{|α²-1|-(q²-1)}
ここで, |-1|≧-1 であるから
(a+1|+ |a-1|-|241° ≧0][201²
したがって
←移行
(|a+1|+ |a-1|) ≧ |24|2
|a+1|+ |a-1| ≧ 0, |24| ≧0である
から
201
a+1|+|a-1|≧|24|
2018
等号が成り立つのは |-1| = -1
すなわち ²-1≧0のときであるから,
a≦-1,1≦a のときである。
[参考] 教科書 p.54 の例題13より
c|x|+|y|≧|x+y|
等号が成り立つのはxy ≧0のとき
122 両辺の平方の差を考えると
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