Question

寧々

(3)の小球がx軸の正の向きの無限遠に到達しない条件が、x＞aかつV＜0となる理由が解説を読んでもよく分かりませんでした。

(3)を教えていただきたいです。

217.電位●図のように, xy平面上の点(a, 0)(a>0),
(-a, 0) にそれぞれ電気量Q(>0) と -4Qの点電荷が固定さ
れている。クーロンの法則の比例定数を k,無限遠の電位を0
とし,重力や空気抵抗は無視できるものとする。
(1)電気量 -Qの小球を, x軸上の負の無限遠から点(-3a, 0) まで動かす間に静電気
力がする仕事を求めよ。
(2) 正の電気量をもつ小球を, 点(a, 0) からx軸の正の向きにわずかな距離だけ離れた
x軸上の点に静かに置いたところ,小球はx軸の正の向きに動き始めた。小球の速
さが最も大きくなる点のx座標を求めよ。
(3) 正の電気量をもつ小球を, 点(x, 0)(x>a)に静かに置いた後,小球がx軸の正の向
きの無限遠に到達しないためのxの条件を求めよ。
-4Q
Q
X
ーa
0
a
の
(16 早稲田大 改] > 212

4Q
2a
よって静電気力カがする仕事「W=qV」より
き。一方,aくx<3a では
x-3a<0 なので①式より
E>0 となり,小球が受ける
力は正の向き。
7kQ
4a
4a
W=-Q{0-(-)--
TkQ
4a
3
(2)点(a, 0) には正電荷が固定されているため, 点(a, 0) からx軸の止の
向きにわずかな距離だけ離れた点で小球が受ける静電気力はx軸の正の
4a
3a
x
0
a
x>3a
a<x<3a
のとき
このことよりa<x<3a で
は加速し,x>3a では減速
することがわかるので
x=3a で最速となる。
のとき
向きで、この向きにそって小球は加速されていく。小球が最速になるの
はx>a の範囲で電場の向きが正から負に変わる点なので", 電場が0
になる点(x, 0)を求める。この点の電場Eは
Q
E=kx-aードてx+a)
4Q
=ko(x+a)?-4(x-a)?
(x-a(x+a)
三
(3x-a)(x-3a)
=ーkQX-
(x-a)(x+a)=0
よって x=,3a
ここで x>a なので適するのは x=3a
(3) x軸の正の向きの無限遠付近の電位
は,無限遠に向かうにつれて負から
0に近づいている。よって正の電気
量をもつ小球は,x>a の範囲で
V<0 となる位置に置けば無限遠に
達することができない。
Q
2 (参考 Q,-4Qの2つ
の点電荷がつくる電位のよう
すは次のようになる。
無限遠の電位は 0。ただし
負電荷のほうが電気量の絶
対値が大きいので電位は負
から0に近づく。
x=a で正の無限大に,
x=-a で負の無限大に発
散する。
電位の概形は次のようになる。
VA
X
a
よって V=k一
x-a
4Q
x+a
(x+a)-4(x-a)
= kQ-
R-
三
(x-a)(x+a)
-3x+5a
<0
=kQ(x-a)(x+a)
x>a なので分母(x-a)(x+a)>0 となり
5
よって x>-a
X
ーa
-3x+5a<0
a
このグラフ上に正の電気量を
もつ小球を置くと,「重力に
よって曲面上を運動する小
球」と同様に考えることがで
きる。
ma
53 a

電気 電位 無限遠

Answer 1

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暇つぶし

無限遠に到達するとき、
小球は運動エネルギーを持っていますので、
力学的エネルギー保存則より
qv(x) = qv(∞) + 1/2mv^2 = 1/2mv^2 ≥ 0
が無限遠に到達する条件です。
反対をとって
qv(x) < 0
が無限遠に到達しない条件です。
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以下は別の考え方です。
無限遠に到達しないということは
小球はどこかで折り返します。
その時の速さは0なので、折り返し地点をAとおくと、
エネルギー保存則より
qv(x) = qv(A)
です。このようなxが存在する(方程式が解をもつ)
ためには電位の概形より
v(x) < 0
でなければなりません。

寧々

回答ありがとうございます。2つの考え方で教えてくださってありがとうございました。納得しました！