Question

ピッピー

一対一対応の数学の質問です！(2)の問題で、なぜ場合分けするのか分からないので教えて下さい！

011 演習題 (解答は p.76)
次で定義される数列 {an}の一般項を求めよ。
(1)例題(1)に似てい
an-1
(1) a=8, an=
(n=2, 3, …)
(津田塾大·国際関係)
る。
(n-1)an-1+1
(2) an+2 と anの関係:
2) a=3, anan+1=5·22n-1 (n=1, 2, 3, …)
(信州大·理)
は?
6

2S,?
(ォ=2, 3, 4, …)… ①
10
(3)逆数をとるタイプ(011を参照)
静 =1, an= 2S,+1
2(atag)?
(1) Oでn=2として, a=2(aj+ a2) +1
2=ェとおき, a=1を代入して分母を払うと,
z(2ェ+3)=2(z+1)?
よって,エ=a=-2
: -エ=2
2S,?
(2) an= S,- Sォー1だから, Sw-Sn-1=2S.+1
:(S-Sn-i)(2S,+1)=2S,?
: S,-2Sn-1Sn- Su-1=0
ガー1
S-1
よって,(1-2S,-1) Sn=Sn-1, Sm=
1-2S,-1
(3)(2)の漸化式の各辺の逆数をとって,
1-2Sn-1
1__1
1
Sn
-2
Sy-1
S Sn-1
ト=1, 公差 -2の等差数列だか
S」
1
1
は初項
Sm
1
1
-=1-2(n-1)=3-2nで, S,=-
Sm
ら,
3-2n
11) (1)逆数をとるタイプ。
O
2
(2) an+1=
an
O
なので,an+2=*
an+1
-=DDan
○lan
となるので,1つとびを考えるとよい。
an-1
解(1) a=8, an=
(n-1)an-1+1
帰納的に a,>0である。上式の各辺の逆数をとると,
1
(n-1)ay-1+1
1
+n-1
an-1
三
an
an-1
bn=1/an とおくと,
bn= bn-1+n-1
: bn+1= b,+n (n21)
よって, n22のとき,
1-1
n-1
bn=b,+ E(bg+1ょ) %3Db+ Ek
k=1
k=1
1+n-1
これはn=D1
でも成り立つ」
=h+-
-x(n-1)
2
1+4(n2-n)
(2n-1)
8
8
8
a=
(2n-1)?
て
(2)a=3, anan+1=5·227-1
のより an+1Qn+2=5-22n+1 ②-①より,
母
an+2
-=22
an
an+2=4an
Q)
76

奇数 2k-1のとき、 2(k+1) -1=4a2h-1 よh
レした2:1-1-ai であり、乗項は m=kと)
a24-1 であるから。
a2k-1=4*-la=3·44-1=3-22k-2
●nが偶数2kのとき,a2(k+1)=4a2k より.
1 424=4*-1a2=224-2Q2
10
のより a2=10で a2=。
a2k
1-z
「3-2"-1 (nが奇数のとき)
以上より,a,=
-2m-1 (nが偶数のとき)
つの式で表すと, an=2"-1.3(-1)ガ-1.5