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P(x)を(x-1)²で割ると余りが2x+3になる、というとき、単にx=1を代入しただけでは、余りも2∙1+3=5となり、せっかく2x+3と2つの係数で表されている情報が5という1つの定数になってしまい、情報不足、条件不足に陥ってしまいます。
なので、AをBで割った余りが2x+3になるというときは必ず、
A=BQ+2x+3
という形式で表さなければいけません。
よって、
P(x)=(x-1)²(x-3)Q(x)+(x-3)(ax+b+3a)+1
の後は、
P(x)を(x-1)²で割った余りが2x+3になるとき、
(x-3)(ax+b+3a)+1を(x-1)²で割った余りも2x+3になる。ここで、(x-3)(ax+b+3a)+1を(x-1)²で割ったときの商はaだから、
(x-3)(ax+b+3a)+1=a(x-1)²+2x+3
という式が得られる。
両辺をそれぞれ整理すると、
ax²+bx-9a-3b+1=ax²+(-2a+2)x+a+3
係数を比較すると、
{a=a
{b=-2a+2⋯①
{-9a-3b+1=a+3⋯②
①を②に代入し、
-9a-3(-2a+2)+1=a+3
-4a=8
a=-2
b=-2(-2)+2=6
よって、余りは、
(x-3){-2x+6+3(-2)}+1
=-2x²+6x+1
最後に改めて強調しておきますが、(x-c)²などのような場合、余りの係数はax+bなど複数の情報が得られるのに対し、代入で得られる式は1本しかないため、情報が欠落することになってしまいます。このときの解決策は、代入ではなくA=BQ+ax+bと表し、係数の情報が保存されるように書くことです。
補足
重解をもつときの因数定理(微分が必要)
https://manabitimes.jp/math/1050
重解のときは特殊なんですね。
回答ありがとうございます！助かりました🙇♀️
補足しておくと、(x-3)(x-5)で割ったときの余りが5x+2などの場合、2つの値を代入してそれぞれ式が得られるので、余りの係数、代入して得られる式、どちらも2つであり、代入でも十分に情報が得られます。
ところが、(x-1)²のような重解のときは代入で得られる式が1本になってしまうので、代入でやると情報不足に陥ります。