Question

Hi（受験生）

1.上の緑線部のように言えるのはなぜですか？
2.なぜα-βが下の緑線部のように言えるのですか？

同題49 放物線 y=x* と, 点(1, 2) を通る直線で囲まれた図形の面積Sを最
小にするような直線の方程式を求めよ。
指針
直線の傾きをmとして, 面積をmの関数として表す。 面積の計算では
-(x-a)(x-B)dx=(8-α) を利用する。
dx= (B-α)° を利用する。
6
解答
x軸に垂直な直線は適さないから, 点(1, 2) を通る直線の方程式を y=m(x-1)+2
とする。
放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式
x=m(x-1)+2
の実数解である。方程式① の判別式をDとすると
すなわち
x°-mx+m-2=0
の
D=(-m)°-4(m-2)=m°-4m+8=(m-2)?+4>0
よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。 それらを α, β (α<B)とすると
S=(m(x-1)+2-x}dx=-|(x-a)(x-B)dx=(B-a)
6
m+VD_m-VD
また, β-a=-
=VD であるから
2
S=-((m-2)+4}°
2
6
よって, Sは m=2 のとき最小であり, 求める直線の方程式は
すなわち
y=2(x-1)+2
y=2x

2軸に亜適反直程は両っないひる、-P=か2-)
、(,2は通マ方程式き、4=mla-1)+2と
cla,P
]
4-P-な2-1
49
軸に再適反直程は適っないひる
m
ズニmlス-1)+2
え- mz tm-2=0-®
2
Oのキ試エDと取と、
D= m-4[m-2
- m-4mntd
(m-2)?+4>0
2
正
正
Oは象な実数解さもっ
シい3を.S Cace)と呼と、
S- la -1)+2-21 da
(ス-a(x -8) da
9-x =m+JD
2
m-AD D よ、
2
-ナm
S=
m-2aをき蔵爪よ1
4=212-1)+2
4-22