Question

ワッフル

　リヤプノフ関数を用いた微分方程式系の安定性解析について勉強をしています。
写真の問題のうち、問23.1の(1)及び問23.2の(3)の解き方が分からないので教えて頂けますと幸いです。原点が中心、半径がルート3の円が不変集合になる理由も併せてお願い頂けるとありがたいです。よろしくお願いします。

23. リヤプノフ関数と安定性*
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間 23.2 微分方程式系
dy
=ーC
dt
(12)
da
=リー(=/3-2),
(μ は負定数)
dt
について,次の間いに答えよ。
(1) V(r,g) = (z° +y°)/2 とする. このとき V12) (z,4) を求めよ。
(Ans. -μ(z°/3 -1)a?)
(2) (12) の平衡点 (0,0) は安定であることを示せ。
(3) [研究] 点 (o,Yo) が (2o)? + (yo)? <3 を満たすとする. このとき, (zo,10)
を通る解はt→8とすると (0,0) に収束することを示せ。
(ヒント. E={(0,9) : -0 <y < 8} であることに注意し, LaSalle の不変原理
と呼ばれる結果(下記参照) を適用する.)
【参考)
RT 内の集合 Mは, 任意の co E Mに対し, zoを通る (2) の解が常に M に留まるな
らば (2) に対する不変集合と呼ばれる。
LaSalle の不変原理 V(z) (zE S) は (2) のリヤプノフ関数とする. このとき, S
内に留まる(2) の有界解は, t→ o とするとき E:={ueS:Vg)(z) =D 0} に含まれ
る(2) の最大不変集合に近づく

図 23.1:(11)の相平面図
演習問題
問 23.1 次の系において, 平衡点 (0,0) の安定性を調べよ. (ヒント. V(z,9)
: (+)/2 を利用せよ. )
da
dt
(Ans. 大域的に漸近安定)
dy
-2z°yー
dt
da
=yーzf(z,y)
dt
dy
= -=1 yf(z,y), ただし (0,0) のある近傍で f(z,y) >0
dt
(Ans. 漸近安定)
da
-+2y°
dt
(Ans. 安定)
dy
:-2zy?
dt
II

微分方程式 安定性 解析学 工学 制御工学 制御理論 リヤプノフ関数

Answer 1

哲治

こんな感じ

哲治

添付資料

ワッフル

ありがとうございます！参考にさせて頂きます。