Question

ペンローズ

T^(2)の行列式が1になることってどのように計算すれば求まりますか？

を待る
テンソルの変換行列と SO(3) の表現
ここで(9.4)の変換の係数 Tik Tiの特徴を調べてみる.まず,
i,j=1,2,3
T(2)。
j, kl = Tik Ti,
(9.8)
k,l=1,2,3
とおく、右辺がTの2つの成分の積なのでT (2) とした. T(2);, kl は,
()の組と(kl)の組をそれぞれ行と列の添字とみなすと i,j=1,2,3に応
じて32=9行をもち, k,l=1,2,3に応じて 3=9列をもつ9×9行列とみ
なせる。この記法を使うとテンソルの変換(9.4)は
3
t; = 2 T(?)ij,kttxl
(9.9)
k,l=1
と書けて,(j), (kl)のそれぞれをひとつの添字とみなせばちょうどベク
トルの変換則(9.1)に対応するかたちとみなせる.
さて,線形代数では2つの行列A= [aj], B=[b;j] から
aijbel = Vik,jl

を得る.すなわち, C=ABならば, 対応するテンソル積でつくられる行
で表わす。たとえば, A,Bを2×2行列として, そのテンソル積である
〈変換則と群の行列表現)
-143
で定義される、を成分にもつ行列
V=[ik.]
をAとBのテンソル積(あるいは直積)とよび
V= A®B
4×4行列Vをあらわに書き下してみると
= (118 412B |
a21 B 022B
a11b11 a11b12 a12b11 a12b12
a11b21 a11b22 a12b21 a12b2
三
a21 b11 a21 b12 a22b11 a22b12
a21 b21 421 b22 a22b21 a:2b2
となって,その複雑さに驚くかもしれない. しかし, このような形で成分
をすべて書く必要はほとんどないので心配するには当たらない. テンソル
積の記法によると(9.8)は
T(2)
= T®T
となる。
ここでA,Bを2つのN×N行列として, テンソル積
A(2) = A&A,
B(2) = B&B
をつくる.A(2) とB(2) の行列としての積は
N
ij,kl
2(A&A),mn(B®B)mn,kl
m, n=1
N
= 2 Aim Ajn Bmk Bul
m, n=1
- んん
N
E Am Bal
=(E Aim Bmk
In=1
) AB)
m=1
(9.10)
= (AB);#(AB);
となる.ここで AB=Cとおくと
(A(2) B(2));j,kl = Cis Ca = (C®C)i;,kl
= C(2);,kl
三

ル空間の次元は9次元である.したがって, T(2) は9次元実ベクトル空
して捉える見方と同じである.2階のテンソルは9成分なので, 実べクト
144 一ポイント 9©ベクトル, テンソル,そしてスピノール
列の間でも
C(2) = A(2) B (2)
が成り立っているのである. この考祭から n 個の行列のテンソル稽
A(m)= A®A&…8A
n個
てある
B (n)= B®B®…8B
R
n個
についても
なので
C(n) = A (n) B(n)
が成り立つことは明らかであろう。
テンソル積T(2) の性質を調べてみよう.T(2) の転置行列は
い (T(2));,l =T(2)kl, ij = Ti Tij
j,
である。T(2) が直交行列であるためには
T(2) tT (2) = tT (2) T (2) =D E
となればよい.ただし, ここのEは9×9単位行列である.(9.8)を代入
SO(3) の表現
(9.12)
して計算すると,(9.10)より
ここ
(T(2) 1T(2) ij, kl = (T'T);a(T*T)
= 0 O
となる.クロネッカーのデルタの積 gOgは()=(kl)のときは1でそれ
以外はゼロであるから, 9×9単位行列に等しい. よって, (9.12)が導か
れT(2) が直交行列であることがわかった.
このことと,テンソル積でつくられる行列の積の性質(9.11)から, 9×9
直交行列T(2)の全体は, T と同じように SO(3) の群を成していることか
わかる.TとT(2) の違いはどこにあるだろうか
Tは3次元実ベクトル空間に(9.1)のように働く. 一方, T(2)は2階の
テンソルに(9.9)を通して働く.2階のテンソル全体のつくる空間は,

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Crystal Clear

直交行列からば行列式が±1までしか言えませんね。

ここで議論されているのは、テンソル積の行列表現であるクロネッカー積です。
wiki
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E7%A9%8D
によると、Aがn次正方行列,Bがm次正方行列のとき
det(A⊗B)=(detA)^m (detB)^n
らしいです。証明は知りません。

古典力学や古典電磁気学などのベクトル演算でも、たまに2つのベクトルのダイアド積が登場しますが、それもクロネッカー積の一種です。あまり関係ないですが。

テンソル積 クロネッカー積 ダイアド

Crystal Clear

結論を書き忘れました
T(2)=T⊗T
だから
detT(2)=(detT)³(detT)³=1³1³=1

ペンローズ

ありがとうございます🙇‍♂️