量子力学・スピンハミルトニアンの時間発展について質問です。(1)〜(3)までは画像2枚目のように解いたのですが、(4)(5)の計算がとても煩雑になってしまいました。この方針で大丈夫なのでしょうか？また、(6)が分かりません。どのように考えればよいのでしょうか？
II. 図3のように番号;= 1,2,3で区別される3つのスピンがあり、それぞれ2軸方向に上向
きと下向きの2つの状態 |0);, [1}; をとることができる。2種類の相互作用 角,。を選択的に
切り替え、1番目と2番目のスピンの状態を3番目のスピンによって制御する。簡単のためプ
ランク定数を2で割った定数んを1とし、相互作用白,白および時間tを無次元量として取
り扱う。
自。
○ン
0
9
三
図3
ここで、1は恒等演算子、9, o9は番目のスピンの演算子,の行列表現である。各演
算子は10); = |0):, of° |1}; = -|1); を満たす。また、3つのスピンからなる状態を|1,0)|0}=
|1);|0)2|0)s などと記すことにする。
(1) (),(o)°, of o) + ooを計算せよ。
(2) 9 を 10);, |1);に作用させた結果をそれぞれ示せ。
C○
(3) 白のもとでの時間発展演算子む(t) = exp(-8白t) = とーを白t)”が
n!
n=0
0(t) = cos° (t)i - sin° (t)a{)a£) + icos (t) sin (t)(o{) + ))
を満たすことを示せ。ただし、一般に可換な演算子A, Bについて、e(4+B) - eáeb が成り
立つことに留意せよ。
(4) 白のもとで時間む、続いてのもとで時間tzだけ相互作用したときの時間発展は
()()= exp(-iHnt) exp(-iAt)と記述される。10,0)|0), I0,1)|0), |1,0) |0), |1, 1)|10)
の4つの状態がひっ(n/4)0,(m/4) の時間発展をしたあとの状態をそれぞれ書き下せ。
次に、ある状態() = a|0,0) |0) + |1,1}10} (a, 8 は定数)を用意したところ、予期せぬ相互作
用により、1番目のスピンが微小回転してしまい、状態|)= VI-) + €)に変化し
た。eの具体的な大きさは分からないが、状態|)をもとの状態」)に戻したい。
(5) 状態」)を問(4) のD2(T/4)ü,(T/4) によって時間発展させると、
Us(r/4)(r/4)) = \)) + i¢)10)
という状態に変化した。1番目と2番目のスピンからなる状態|), o)をそれぞれ具体
的に書き下せ。
(6) 問(5) の状態に対し、3番目のスピンの測定をおこなうと、状態|)|1) と状態|o)|0)の
いずれかが得られる。それぞれの状態に対してさらに個別にある演算子を作用させると、
微小回転量eの情報なしに状態 |) に戻せる。各状態について必要な演算子を答えよ。
(0)=
0
D
0
0469+ 696)-
0|
0
ー1
0
0
() 69 102;
01
0
G)
(37 exp にiHit)
exp [-z(-6 6 - 62 6)t]
= exp(ió8 69t) exp(iópl 80t)
fi
he
m!
iu
2
3!
16t
2!
3!
t?
4!
31
5!
2/
4!
3!
5!
| costt)1+テ sintt) 62 61 costt)i +i sintt) 680
cos'(e) - 5in'(t) 8 68 +zcas(t) sin(t) (60+ 68)6%
(4) 0.()5(7- 360 +1606でる)
2(年)もじ,(年)と同様に求める。
2
exp(-をM)=(点(1-26 6)()+i6")(1+え6)(ーェテ)
くま+えな-をえ 606円+ 68)(う+i6,) (1-ェ7)
る(はi)(1+6,", 6,0 - 8830) (にi)
1+ 80 69 - 6 6,)
こ
こ
状態、10,0>12 とて
0.1年) 10,0>10>-(10,0>10> - 10,0>10> + z l0.0>1>+i l0.0> 11>)
0()(i10,0211) (l0,0211> - 10,0)19+ 10,021> + l0,0>11>)
210,0211>
lo,02 1>+ 10,0>11>+ l0,0>11>)
状態、10,1210> とき
じ.4) 101>10> (101210) +10,1>10> +i lo.1>1> -i10,12>)
a(年)10,1> 10> ( 10.1210> + 10.1>10> - 1al210> + l0.1> l0>)
la1210> + 1o.1>1>)
10.1210>
状態、1,o>1> のとき
じ,(年)11.0>0> =(1.0210>
(1,2102 - |,0>11>
*i11,0211)
ヤ
l110>10>
こ
じ()11,0> 10>-(-1210> + 110> 10> + 11,0>10>+ 1,0>10>)
11,0210>
こ
状紙、11.1210> aとも
じ,1番)1,1210> :(11)10> - |1,12)0> - i11,1>1>-i11.121>)
0.1そ)(-211.1>1>- -(-11.121> - 1112 11> -11>11> + 1112112)
i11.1211>
ニ
X上から
しっ(年)し、) 10,0>0>: i10.0>11>
じ()じ,(全)10.1>10>- 10,1210>
し2(し(番) >11> 1,0> 10>
2(年)しほ) >)0>: そ11,1>1>
(5) 14ょ>- T-c (« l0,0>10> + β 1L>lo>) + &(« 110210>+ 810,1>>)
-- a (0,0>10>+ 2A10.1>10> + をx 11,0>10> + 7-211,1210>
5,?(4) の結果かs
しっ年)0,()196> = 7-xl0.0>> +$8l0,1>10>+ Exll.0>10>+à!7-5A1161711>
こ?
-(i-xlo0> + iEを,1>)>+ (Ex[l,0>+ &p 10,12) 10>
1x主から
1> -(10,0>+ @111>)
1。>- を (xll,0> + Al011>)
(4)
σxとσzの働きに注意して手早く計算できるようにやり直してみます。ありがとうございます。
(6)
画像のような考えでよいのでしょうか？