✨ Jawaban Terbaik ✨
to look / after～ 「～のあとで／見る??」みたいな意味なのか、
それともto look after 「世話をする・面倒を見る」という意味でとらえればいいのか、という質問でよいでしょうか。
結論から言うとto look after 「世話をする」で良いです。
そして、このto look afterは、もともとはthe vaseを修飾する形容詞句だったものです。
順を追って説明する必要がありますので、以下を参照ください。
Bの文全体を見て、「花瓶を壊しちゃった」という意味は読み取れるはずです。
また、選択肢を見ると、1はgive「与える」、2～4はすべてbe+given「与えられる」の時制違いになっています。
「私が与えた花瓶を私が壊した」では行動が不可解なので（つまり選択肢1は不正解）、
「私が与えられた花瓶を私が壊した」という意味の文だろうなと考えます。
①私が与えられた → ②私が壊した という時間的な差があるので、答えは4のhad been givenです。
BのDo you remember～の文は関係代名詞のthatがついています。
関係詞は二つの文を一つにまとめる役割があるので、混乱したら分解してみましょう。
①Do you remember the vase？ 「花瓶のことを覚えていますか」
②I had been given the vase to look after 「私は世話をする（ための）花瓶を与えられた」
「世話をする」の部分は「花瓶」を修飾していますよね。
つまり、to look after のまとまり全体がthe vaseという名詞を修飾する、形容詞的な役割をしています。
「look afterの場合はtoはなんの意味が」…日本語訳に反映させるなら「（ための）」でしょうか。
でもすべての英文で使えるような訳ではないですね。
文法の解説書をお持ちであれば
「不定詞」の「形容詞的用法」もしくは「句と節」という章の「形容詞句」という説明を見てみてください。
とても分かりやすい説明ありがとうございます！
ちなみに例文を作ると、
I had been given the vase to look after his child.「彼の子供の世話をするために花瓶を与えられた」（花瓶が好きな子供なのかな）
この場合は、to look after his child の部分は、副詞的用法「～するために」になります。
でも、今回の文ではto look afterのうしろ、前置詞の目的語が抜けているので、
もともとはto look after the vase「花瓶の世話をする」という形だったものが、名詞が前に出て
the vase to look after「世話をする（ための）花瓶」という訳せる形になっていると考えます。