青チャートの問題なのですが❔のところがわかんないです。なぜ2θ＋α＝90°のときとわかったのでしょうか？他の問題のように単位円で範囲を絞ってこうと思ってもよくわからなかったです、、
重要例題162 図形への応用 (2)
点Pは円×+y?=4上の第1象限を動く点であり,点Qは円×+y°=16上の第
使眼を動く点である。ただし, 原点0に対して,常に ZPOQ=90° であるとす
また、点Pから×軸に垂線 PHを下ろし, 点Qから×軸に垂線QK を下ろ
*更に ZPOH=0とする。このとき,△QKH の面積Sは tan0= のと
き,最大値コをとる。
[類早稲田大)
重要159
針> AQKH の面積を求めるには,辺 KH, QK の長さがわかればよい。そのためには, 点P
と点Qの座標を式に表すことがポイント。
半径rの円x+y=r上の点 A(x, y) は, x=rcos a, y=rsinα (αは動径 OA の表
す角)とおけることと, ZPOQ=90° より, ZQOH=ZPOH+90° であることに着目。
解答
OP=2, ZPOH=0であるから, Pの座標は
(2cos 6, 2sin0)
0Q=4, ZQOH=0+90° であるから,Qの座標は
(4cos(6+90°), 4sin(0+90°))
04
2
P
すなわち(-4sin0, 4cosθ)
ただし 0°<0<90°
ゆえに S--KH-QK=
-4
K
0
OH2 *
(2cos0+4sin0).4cos@
2
=2(2cos°0+4sin@cos0)
=2(1+cos 20+2sin20)=2{/5sin(20+α)+1}
三角関数の合成。
ただし, αは sinα=
5
2
COS Q=
0°<α<90°を満たす角。<aは具体的な角として表す
V5
(0°<) α<20+α<180°+α (<270°)
よって, Sは20+α=90° のとき最大値(2(V5 +1)をとる。
ことはできない。
0°<0<90° から
1
20+α=90° のとき tan20=tan(90°-α)=
COS Q
=2
sina
sina=
V5
2
COS Q=
75
tan a
2tan0
=2
1-tan?0
ゆえに
よって
tan?0+tan0ー1=0
(tan0 についての2次方程
式とみて解く。
アー1+ 5
2
0°<0<90° より tan0>0であるから
tan 0=
練習
0を原点とする座標平面上に点A(-3, 0) をとり, 0°<θ<120° の範囲にある0
102 に対して, 次の条件(a), (b) を満たす2点B, Cを考える。
(a) Bはy>0の部分にあり, OB=2かつ ZAOB=180°-0である。
(b) Cはy<0 の部分にあり, OC=1 かつ ZBOC=120° である。 ただし、
△ABC は0を含むものとする。
△0AB と △OACの面積が等しいとき, θの値を求めよ。
2) 0を0°<0<120° の範囲で動かすとき, △OABと △OACの面積の和の最大
値と,そのときの sin@の値を求めよ。
[東京大)
なるほどです！！！
丁寧にありがとうございました（ ; ; ）