Question

キウイ

(2)の問題で、付箋を貼った場合分けのところからの図形的なイメージが分かりません。
なぜこのような条件が求まるのでしょうか。
教えて頂きたいです。

問題)
(1) 点(a, b) から曲線y=°-3.z に異なる3本の接線が引けるとする。点 (a, b) の存在範囲を図示せよ。
(2) 平面上の点(a, b) から曲線y = e-"" に4本の異なる接線が引けるような実数 a, bの条件を求め, ab平面上に
図示せよ。

2) y=e-" の(t, e-f)における接線は,
= -2ze-° に注意して、
リ=-2te-(z-t)+e-P
これが、点(a, b)を通るので
b= -2te-f (a-t)+e-* O
"= -2(e-" - 2?e-"')
= 2(2a3- 1)e-+°
だから, 20における凹凸および増減は,
0
V2
y"
0
1
+0
したがって, y=e-a" が偶関数ということに注意
して,グラフは,
1
1
ここでのが異なる 4実解を持てばよいので
f(t) = -2te-f (a-t) +e-* -b
とすると,
f'(t) = 2e-" (a-t)(22? - 1)
1
1

よって,f(t) はt=a,±ー
よって,f(t) の符号は +
することと、
で極値をとる。
V2
↓+↓- と変化
lim_f(t) = -b, lim f(t) = -b
t→-0
t→0
に注意して,b>0の条件下で,
(i) aく-ー
のとき
V2
f0)<a, (-吉)>の()o
f(a)<0, f
> 0, f
V2
となれば良い。
1
のとき
V2
くaく
V2
f
<0, f(a) > 0, f
となれば良い。
のとき
V2
f
> 0, f(a) <0
となれば良い。
以上より,これらを図示すれば下図のようになる。
()rロ>(発)
f(a) = 0
a
1
V2
V2
= 0
0=()

接線の本数