Question

シュンスケ

(3)の緑で丸しているところを具体的に教えて下さい。

21:55
Example 11 ★★★★★
+S+E
3
an
a=3, an+1=
2
(n=1, 2, …)で定められる数列 {an} がある。
an
(1) 不等式 an>V6 を証明せよ。
(2) 不等式 an+1一V
ー16<-(an-16)° を証明せよ。
(3) lim an を求めよ。
(17 大阪府:
n→ 0

11
漸化式と極限限(1)
Example 11 **★
3
a」=3, an+1=
-+(n=1, 2, )で定められる数列 {an)がある。
2
an
(1) 不等式 an>V6 を証明せよ。
(2) 不等式 an+
-V6<(an-V6)° を証明せよ。
4
lim an を求めよ。
[17 大阪府大)
カ→
解答
(1) [1] n=1 のとき, a=3>V6 より成り立つ。
[2] n=k のとき, an>V6 が成り立つと仮定すると
key
数学的帰納法で
す。
ak+1-V6=l
2ak
+6_/6=(an-/6 )>0
2ak
よって, n=k+1 のときも成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて an>V6
(2) 2</6<an であるから
(an-V6)? (anーV6)
2an
(an-16) 圏
an+1ー/6=
2-2
(3) b=an-v6 とおくと, (2) から
bn+1<一b。
2
key (2)の不等三
この関係式を繰り返し用いると、n22 のとき
返し用いて、は
の原理を利用。
ォーぱく合わのーざく……<b
1
0<bnく
22-1
42円
-1
16|=|3-/6<1 より lim
27-1
12ペ-1-16 =0 であるから,
n→ 0
はさみうちの原理により
lim bn=0
n→ 0
すなわち
lim an=V6
n→ 0

数ⅲ 漸化式