いえ、主語はあくまで文頭のIですよ！
日本語に惑わされている感じがします。
owe A to B で「AはBのおかげである」と訳されることが多いですが、もっと直訳だと「SはAについて、Bの恩恵をこうむる」という意味です！
今回は、目的語Aに、形式目的語itが来ており、真の目的語that以下は文末に外置されています。
あくまで文の構造としては
I (S) owe(V) it(形式O) to my uncle
です！
直訳だと
「私は、itについて、私の叔父の恩恵をこうむる」
で、itが何かというと、真目的語that以下「私が商売に成功した」ですね！
なので、自然な日本語にすると
「私が商売に成功したのは叔父のおかげだ」
となっているわけです！
owe A to B のAにthat節が入るといことですよね？