Question

Mathematica

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)　
の証明方法を教えて下さい。

因みに、自分は写真のように考えましたが、
4行目の変形がこれでいいのかな?と言う感じです。

Answer 1

Crystal Clear

基本的にはOKですが、
上から3,4行目は削除してください。

{x|P(x)} とはxの条件P(x)を満たすようなxを全て集めた集合を表します。今回の3,4行目は(A∪B)∪CとA∪(B∪C)を表していて明らかにおかしいです。

それらを削除すれば問題ありません。
(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)
を"証明"するならば、前回と同様に∨導入則と∨除去則を使って示すことができます、が自明としていいです。

Mathematica

返事が遅くなり申し訳ありません。

ご指摘有難うございます。
訂正しておきました!

Answer 2

哲治

集合論の基礎の基礎。分配法則です。こんな感じ。

Mathematica

ご回答下さりありがとうございます。

すみません。
写真を載せ忘れていました…
これです。

哲治

それは問題とは違う奴ですか？

Mathematica

重ね重ねすみません。

質問の式を間違えていました。
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
が質問したかった式です。
先程投稿した写真はこの式のものです。

哲治

ちなみに集合論ではそれでは何の証明にもなりません。
同値記号で結べることを証明しなければならないわけなんで。
そうではなくて、必ず⊂と⊃の二つの包含関係より=を導きます。

哲治

ちなみに証明はこんな感じ。

哲治

これは結合法則です。分配法則よりは証明は簡単です。

哲治

ちなみにちゃんとテキストを読んでますか？
こんなのどんな集合論の本でも一番最初に書いてあるレベルのお話ですよ。

Mathematica

⇔ ではなくて ⇒ を使って
x∈(A∪B)∪C ⇒ x∈A∪(B∪C)
と
x∈A∪(B∪C) ⇒ x∈(A∪B)∪C
を示せば、
上の解答のような形でも良いということでしょうか。

哲治

そうです。つまり二つの包含関係よりイコールを導きます。

Mathematica

テキストは読んでいます。
しかし、具体的な証明が載っておらずよく分からなかった為、質問させて頂きました。

Mathematica

分かりました。
ありがとうございますm(__)m

哲治

テキストを紹介しておきます。
左は初学者向け。
右はゴリゴリの数学科向け。上級者向けです。

哲治

僕自身もまだ右の内田本は読めません。

哲治

一楽先生の集合論の本もわかりやすいと聞いたことあります。読んでないけれども。
まあ数学科では一楽先生のテキストはわかりやすいと評判ではあります。

Mathematica

わざわざありがとうございますm(__)m
上記のテキストを参考に自分に合ったテキストを探してみます!

Mathematica

わざわざありがとうございますm(__)m
上記のテキストを参考に自分に合ったテキストを探してみます!