まず、公式から
平均値＝データの総和÷データの大きさ(個数)
分散＝偏差の2乗の総和÷データの大きさ(個数)
標準偏差＝√分散
今回は、点数を調整するので、データの個数は変化しない。
すべてに共通していて、データの調整で変化しないデータの個数をx個としてみる。
今回は、それぞれの点数すべて0.5倍して、さらにそれぞれの点数に10点を足している
ⅠⅠ
もとの点数より、それぞれの点数は0.5倍＋10点になっている
ⅠⅠ
点数調整後の、データの総和は(もとの点数の総和)×0.5+10xになっている
調整前の平均値は10。すなわち、(もとの点数の総和)/x=10・・・①
調整後の平均値は、{(もとの点数の総和)×0.5+10x}/x・・・②
①より、もとの点数の総和＝10x
これを②に代入して計算すると、(5x+10x)/x=15
よって、点数調整後の平均値は15である。
点数調整後は、もとの点数より、それぞれの点数は0.5倍＋10点になっている
そして、平均値は15になった
ⅠⅠ
調整後の偏差の2乗の総和は{(それぞれのもとの点数×0.5+10)－15}^2の和、すなわち、
{(それぞれのもとの点数×0.5－5}^2の和、である。
調整前の偏差の2乗の総和は(それぞれのもとの点数－10)^2の和、である。
すなわち、
調整前の分散は(それぞれのもとの点数－10)^2の和/x=24・・・③
調整後の分散は{(それぞれのもとの点数×0.5－5}^2の和/x・・・④
③より、(それぞれのもとの点数－10)^2の和＝24x
すなわち、{(それぞれのもとの点数)^2－20×(それぞれのもとの点数)+100}の和＝24x・・・③'
④を展開すると0.25(それぞれのもとの点数)^2－5×(それぞれのもとの点数)+25}の和/x
これ×4をすると、 ←展開して×4すると③'と同じ形が出てくるから×4をした
{(それぞれのもとの点数)^2－20×(もとの点数)+100}の和/4xになる。
これに③'を代入して、
点数調整後の分散は24x/4x=24/4=6
続く
別解・・・変量の変換を用いた方法
一般的に、変量x(データのこと)が変量uを用いてu=(x-x0)/cすなわち、x=cu+x0と表されるとき、
xの平均値＝c×uの平均値＋x0、
変量xの標準偏差の２乗＝c^2×変量uの標準偏差の２乗と表される。
今回はu=0.5x+10=1/2x+10=(x+20)/2であるから、上と見比べてc=2、x0=-20なので、
xの平均値＝c×uの平均値＋x0に代入して
10=2×uの平均値+(-20) よってuの平均値＝15
変量xの標準偏差の２乗＝c^2×変量uの標準偏差の２乗に代入して
24 ＝2^2×変量uの標準偏差の２乗
変量uの標準偏差の２乗＝変量uの分散＝24/4=6
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