Question

ゆなぽぽり

複素数平面です
公式のarg(z1z2)＝argz1＋argz2
がいまいち理解できません
どなたか解説お願いします

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ととろ

z1とz2 の積の偏角はそれぞれの偏角の和になる
と言うのが公式の意味

z1 と z2 を 実部虚部と絶対値偏角の両方で表してみると証明できる

z1=x1+iy1=r1∠θ1
x1=r1cosθ1, y1=r1sinθ1 ①
z2=x2+iy2=r2∠θ2
x2=r2cosθ2, y2=r2sinθ2 ②
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)
に①②を代入して実部と虚部を整理して
三角関数の加法定理をつかえば
∠(z1z2)=θ1+θ2
が導けます

ゆなぽぽり

式の最初の方で申し訳ないんですけど
x1+iy1=r1これって実部と虚部を足したら半径r1になるということですか？
二乗＋二乗の√とかでもなく？

数学苦手なんです...

ととろ

r1∠θ1 は 絶対値r1, 偏角(arg)θ1 という意味です

ゆなぽぽり

実部と虚部の整理も途中式を書いていただけるとありがたいのですが...

でもこの公式の意味とモヤモヤしていた部分はわかった気がします

ととろ

代入して複素数のかけ算するだけですよ。
自分でやってみると納得できて「わかった気がします」が「わかった」になるので敢えて書きません(笑)

ゆなぽぽり

わかりました！頑張ります！

ととろ

わからなかった聞いて下さい。
わかったら教えてもらえると嬉しいです。
頑張れ！

ゆなぽぽり

何度もすみません🥺どこで計算間違えましたか？
加法定理が使える形にならないんです💦

ととろ

1行め最後の項cosθ2が間違いでsinθ2

間違いを直して 3行めで r1r2でくくれば、実数部はcos(θ1+θ2)を、虚数部はsin(θ1+θ2)をそれぞれ加法定理で展開したものになります。

ゆなぽぽり

たぶん加法定理まではできたと思うんですけど
そこからどうやってθ1＋θ2になるのかがわからないです

ととろ

加法定理が間違えてる

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
括弧の中に角度の和

あと少し！頑張れ！

ゆなぽぽり

本当だ、加法定理がそもそも違う
でもここからどうやってθ1＋θ2になるんですか？

ととろ

あれれ？(笑)

z1=x1+iy1=r1∠θ1
x1=r1cosθ1, y1=r1sinθ1 ①
と比べてみて下さい

z1z2がその式で表せる、ということは、arg(z1z2)=θ1+θ2
である、ということですね。

お疲れさまﾃﾞｼﾀ

ゆなぽぽり

本当に長らくお付き合いいただきありがとうございました！
公式の証明は学校でやらなかったし、覚えるだけでも良かったかもしれないけど
今回このように丁寧に教えていただけて、すごく自分のためになった気がします！
本当にありがとうございました！